Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva

y = sqrt((x)/(x - 5))

Passo 1

Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.

y = sqrt((x)/(x - 5))

Nessa questão precisamos tomar cuidado com duas coisas, uma é com relação ao que está dentro da raiz não pode ser negativo. E a outra é que o denominador não pode ser 0 .

(x)/(x - 5) >= 0

Resolvendo a inequação:

x <= 0 ou x > 5

Então, esse é o domínio da função.

Passo 2

Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos.

y = sqrt((x)/(x - 5))

Se x = 0 :

y = 0

Se y = 0

x = 0

Passo 3

Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:

f (x) = sqrt((x)/(x - 5))

Vamos ver como fica o f ( - x ) :

f (- x) = sqrt((- x)/(- x - 5))

Com isso vemos que nossa função não é nem par pois f ( x ) != f ( - x ) nem impar pois f (x) != - f ( - x ) .

Passo 4

Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.

  1. Assíntota horizontal:
  2. L = underset(x -> oo)(lim) sqrt((x)/(x - 5))

    Colocando o x em evidencia no denominador:

    L = underset(x -> oo)(lim) sqrt((x)/(x (1 - (5)/(x))))

    Simplificando:

    L = underset(x -> oo)(lim) sqrt((1)/((1 - (5)/(x))))

    Quando x -> oo , então (5)/(x) -> 0 :

    L = underset(x -> oo)(lim) sqrt(1) -> L = 1

    O mesmo acontece para x -> - oo . Logo, teremos uma assíntota horizontal: y = 1

  3. Assíntota Vertical:

L = underset(x -> 5)(lim) sqrt((x)/(x - 5))

Quando x -> 5 :

L = sqrt((5)/(0)) = oo

Assim, teremos a assíntota vertical: x = 5

Passo 5

Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar f ' ( x ) .

f (x) = sqrt((x)/(x - 5))

Assim,

f^' (x) = (1)/(2 sqrt((x)/(x - 5))) * ((x)/(x - 5))^'

Isto é,

f^' (x) = (1)/(2 sqrt((x)/(x - 5))) * ((x - 5) - x)/((x - 5)^2) = - (5)/(2 (x - 5)^2 sqrt((x)/(x - 5)))

Repare que f ' ( x ) é negativo para todos os valores de x pertencente ao domínio, pois o termo sqrt((x)/(x - 5)) * (1)/((x - 5)^2) é sempre positivo, mas esse termo está sendo multiplicado por - (5)/(2) .

Passo 6

Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer f^' (x) = 0 :

- (5)/(2 (x - 5)^2 sqrt((x)/(x - 5))) = 0

Logo, não haverá ponto de inflexão.

Passo 7

Para terminar, basta analisarmos as concavidades da curva. Para isso, vamos ver o sinal de f ' ' .

f^' (x) = - (5)/(2) sqrt((x - 5)/(x)) * (1)/((x - 5)^2)

Derivando,

f^(' ') (x) = (5 (4 x - 5))/(4 (x - 5)^((5)/(2)) x^((3)/(2)))

Para f^(' ') (x) > 0 :

(5 (4 x - 5))/(4 (x - 5)^((5)/(2)) x^((3)/(2))) > 0

Resolvendo a inequação:

x < 0 ou x > 5

Logo, nossa curva terá concavidade para cima no intervalo (- oo , 0) uu (5 , oo) . Repare que esse já é o domínio da nossa função.

Passo 8

Esboçando um gráfico, temos:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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