Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.5 - Ex. 22
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva
Passo 1
Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.
Nessa questão precisamos tomar cuidado com duas coisas, uma é com relação ao que está dentro da raiz não pode ser negativo. E a outra é que o denominador não pode ser .
Resolvendo a inequação:
ou
Então, esse é o domínio da função.
Passo 2
Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos.
Se :
Se
Passo 3
Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:
Vamos ver como fica o :
Com isso vemos que nossa função não é nem par pois nem impar pois .
Passo 4
Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.
- Assíntota horizontal:
- Assíntota Vertical:
Colocando o em evidencia no denominador:
Simplificando:
Quando , então :
O mesmo acontece para . Logo, teremos uma assíntota horizontal:
Quando :
Assim, teremos a assíntota vertical:
Passo 5
Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar .
Assim,
Isto é,
Repare que é negativo para todos os valores de pertencente ao domínio, pois o termo é sempre positivo, mas esse termo está sendo multiplicado por .
Passo 6
Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer :
Logo, não haverá ponto de inflexão.
Passo 7
Para terminar, basta analisarmos as concavidades da curva. Para isso, vamos ver o sinal de .
Derivando,
Para :
Resolvendo a inequação:
ou
Logo, nossa curva terá concavidade para cima no intervalo . Repare que esse já é o domínio da nossa função.
Passo 8
Esboçando um gráfico, temos:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)