Use o roteiro desta seção para esboçar a curva

y = (x^3 - 1) / (x^3 + 1)

Passo 1

Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.

y = x 3 - 1 x 3 + 1

A única restrição que temos é o nosso denominador ser diferente de 0 . Assim,

x 3 + 1 ≠ 0 → x ≠ - 1

Então o domínio, fica:

R - { - 1 }

Passo 2

Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos. Se y = 0 :

x 3 - 1 x 3 + 1 = 0

Logo,

x 3 - 1 = 0 → x = 1

E se x = 0 :

y = 0 - 1 0 + 1 = - 1

Passo 3

Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é impar ou par. Então vem comigo:

f x = x 3 - 1 x 3 + 1

Vamos ver como fica o f ( - x ) :

f - x = - x 3 - 1 - x 3 + 1

Assim,

f - x = - x 3 - 1 - x 3 + 1 =

Com isso vemos que nossa função não é nem par pois f ( x ) ≠ f ( - x ) nem impar pois f x ≠ - f ( - x ) .

Passo 4

Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.

  1. Assíntota horizontal:
  2. L = lim x → ∞ ⁡ x 3 - 1 x 3 + 1

    Quando x → ∞ podemos desprezar o termo 1 no denominador e o fator - 1 no numerador. Logo,

    L = lim x → ∞ ⁡ x 3 x 3

    Portanto,

    L = 1

    O mesmo acontece para x → - ∞

  3. Assíntota vertical: Como temos a restrição x = - 1 , vamos ver se temos uma assíntota nesse ponto.

L = lim x → - 1 ⁡ x 3 - 1 x 3 + 1

Para x = 0 :

L = - 2 0

Logo,

L = - ∞

Passo 5

Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar f ' ( x ) .

f x = x 3 - 1 x 3 + 1

Usando a regra do quociente, temos:

f ' x = 3 x 2 ⋅ x 3 + 1 - x 3 - 1 ⋅ 3 x 2 x 3 + 1 2

Isto é,

f ' x = 6 x 2 x 3 + 1 2

Repare que a função f ' ( x ) é sempre positiva, pois o quadrado de qualquer número é positivo.

Passo 6

Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer f ' x = 0 :

6 x 2 x 3 + 1 2 = 0

Logo,

x = 0

Passo 7

Pra finalizar, vamos analisar a concavidade nos pontos de inflexão. Para isso, temos que achar f ' ' ( x ) .

f ' x = 6 x 2 x 3 + 1 2

Usando a regra do quociente:

f ' ' x = 12 x ⋅ x 3 + 1 2 - 6 x 2 ⋅ [ 2 ⋅ x 3 + 1 ⋅ 3 x 2 ] ( x 3 + 1 ) 4

Simplificando:

f ' ' x = 12 x ( 1 - 2 x 3 ) ( x 3 + 1 ) 3

Se f ' ' x > 0 :

12 x ( 1 - 2 x 3 ) ( x 3 + 1 ) 3 > 0

Resolvendo:

0 < x < 1 2 3   ou x < - 1

Isso quer dizer, que nossa função possuirá concavidade para cima nesse intervalo.

Se f ' ' x < 0 :

12 x ( 1 - 2 x 3 ) ( x 3 + 1 ) 3 < 0

Resolvendo:

- 1 < x < 0 ou x > 1 2 3

Portanto, que nossa função possuirá concavidade para baixo nesse intervalo.

Passo 8

Pra finalizar, basta esboçarmos a curva:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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