Use o roteiro desta seção para esboçar a curva

y = (x^2 - 2) / x^4

Passo 1

Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.

y = x 2 - 2 x 4

A única restrição que temos é o nosso denominador ser diferente de 0 . Assim,

x 4 ≠ 0 → x ≠ 0

Então o domínio, fica:

R - { 0 }

Passo 2

Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos. Se y = 0 :

x 2 - 2 x 4 = 0

Logo,

x 2 = 2 → x = ± 2

Passo 3

Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:

f x = x 2 - 2 x 4

Vamos ver como fica o f ( - x ) :

f - x = - x 2 - 2 - x 4 = x 2 - 2 x 4

Como f x = f ( - x ) nossa função é par. Isso significa que a curva é simétrica em relação ao eixo y .

Passo 4

Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.

  1. Assíntota horizontal:
  2. L = lim x → ∞ ⁡ x 2 - 2 x 4

    Quando x → ∞ podemos desprezar o termo - 2 no denominador. Logo,

    L = lim x → ∞ ⁡ x 2 x 4 = lim x → ∞ ⁡ 1 x 2

    Portanto,

    L = 0

    O mesmo acontece para x → - ∞

  3. Assíntota vertical: Como temos a restrição x = 0 , vamos ver se temos uma assíntota nesse ponto.

L = lim x → 0 ⁡ x 2 - 2 x 4

Para x = 0 :

L = - 2 0

Logo,

L = - ∞

Passo 5

Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar f ' ( x ) .

f x = x 2 - 2 x 4

Assim,

f ' x = 2 x ⋅ x 4 - x 2 - 2 ⋅ 4 x 3 x 8

Isto é,

f ' x = x 3 - 2 x 2 + 8 x 8

Agora vamos ver os pontos onde f ' x > 0 e os pontos onde f ' x < 0 :

Para os pontos f ' x > 0 :

x 3 - 2 x 2 + 8 x 8 > 0 → x 4 - x 2 > 0

Resolvendo a inequação:

x ∈ - ∞ , - 2 ∪ 0,2

Para os pontos f ' x < 0 :

x 4 - x 2 < 0

Logo,

x ∈ 2 , ∞

Passo 6

Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer f ' x = 0 :

x 3 - 2 x 2 + 8 x 8 = 0

Então, temos:

x 3 - 2 x 2 + 8 = 0 → x 4 - x 2 = 0

Portanto,

x = 0 ou 4 - x 2 = 0

Se 4 - x 2 = 0 :

x = ± 2

Passo 7

Agora chegou a hora de analisarmos a concavidade nos pontos de inflexão. Para isso, temos que achar f ' ' ( x ) .

f ' x = - 2 x 5 + 8 x 3 x 8

Logo,

f ' ' x = - 10 x 4 + 24 x 2 ⋅ x 8 - - 2 x 5 + 8 x 3 ⋅ 8 x 7 x 16

Simplificando:

f ' ' x = - 8 x 2 + 16 x 6

Agora vamos analisar os pontos:

f ' ' 2 < 0

f ' ' - 2 < 0

Logo, teremos concavidade para cima em 2 e em - 2 .

Passo 8

Por fim, basta esboçarmos o a nossa curva:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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