Enunciado

Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

54-

y = x e - x

Passo 1

Fazendo a primeira derivada temos:

y ' = e - x - x e - x

Agora a segunda:

y ' ' = - e - x - e - x + x e - x ∴ - 2 e - x + x e - x

Passo 2

Analisando y ' temos:

e - x - x e - x = 0

e - x = x e - x

Como e - x não tem como ser zero podemos cortar sem se preocupar com ele.

x = 1

Logo em x = 1 temos o nosso ponto crítico

Passo 3

Verificando o ponto crítico e vendo se tem pontos de inflexão nós ficamos:

y ' ' 1 = - 2 e - 1 - e - 1 → n e g a t i v o

Logo x = 1 é máximo local.

Ponto de inflexão:

- 2 e - x + x e - x = 0

Cortando e - x e separando a variável encontramos inflexão em:

x = 2

Passo 4

Por não se tratar de um polinômio fracionado não temos assíntotas verticais, verificando agora as horizontais

lim x → ∞ ⁡ x e - x

lim x → ∞ ⁡ x e x

O que é uma indeterminação ∞ ∞ , pode-se aplicar L’Hopital:

lim x → ∞ ⁡ 1 e x = 0

Agora para menos infinito:

lim x → - ∞ ⁡ x e x

Nesse caso L’Hopital não se aplica pois

lim x → - ∞ ⁡ x × 1 e x = - ∞ ×   ∞ = - ∞

Então a função começa em menos infinito e vai até zero.

Passo 5

Fazendo a tabela com os intervalos temos:

Pontos de teste: 0 1.5 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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