Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva

y = x e^(- x)

Passo 1

Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.

y = x e^(- x)

Repare que não temos nenhuma restrição. Assim, o domínio da nossa função será x in R .

Passo 2

Agora vamos ver como fica nossa função em alguns pontos:

f (x) = x e^(- x)

Se x = 0 :

f (0) = 0

Passo 3

Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é ímpar ou par. Então vem comigo:

f (x) = x e^(- x)

Vamos ver como fica o f ( - x ) :

f (- x) = - x e^x

Com isso, vemos que f (x) != - f (- x) e f ( x ) != f (- x) . Portanto, nossa função não será ne par nem ímpar.

Passo 4

Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas.

  1. Assíntota horizontal:

L = underset(x -> oo)(lim) x e^(- x)

Isto é:

L = underset(x -> oo)(lim) (x)/(e^x)

Se fizermos x = oo :

L = (oo)/(oo)

Opa, como chegamos numa indeterminação, vamos aplicar a regra de L’Hospital.

Logo,

L = underset(x -> oo)(lim) (1)/(e^x)

Fazendo x -> oo :

L = 0

Então, vemos teremos a assíntota horizontal x = 0

Passo 5

Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar f ' ( x ) .

f (x) = x e^(- x)

Derivando,

f^' (x) = e^(- x) + x (- e^(- x))

Logo,

f^' (x) = e^(- x) (1 - x)

Para f^' (x) > 0 :

e^(- x) (1 - x) > 0 -> 1 - x > 0

Resolvendo a inequação:

x < 1

Logo, nossa função será crescente no intervalo acima.

Para f^' (x) < 0 :

e^(- x) (1 - x) < 0 -> 1 - x < 0

Resolvendo a inequação:

x > 1

Assim, nossa função será decrescente no intervalo acima.

Passo 6

Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer f^' (x) = 0 :

f^' (x) = e^(- x) (1 - x)

Logo,

e^(- x) (1 - x) = 0

Resolvendo, temos:

x = 1

Passo 7

Para acharmos as concavidades da curva vamos analisar o sinal da segunda derivada. Vem comigo!

f^' (x) = e^(- x) (1 - x)

Derivando,

f^(' ') (x) = - e^(- x) * (1 - x) + e^(- x) * (- 1)

Logo,

f^(' ') (x) = e^(- x) (x - 2)

Para f^(' ') (x) > 0 :

x - 2 > 0

Logo,

x > 2

Então, a curva terá concavidade para cima para x > 2

Para f^(' ') (x) < 0 :

x - 2 < 0

Logo,

x < 2

Assim, vemos que a curva terá concavidade para baixo para x < 2 .

Passo 8

Pra finalizar, basta esboçarmos o gráfico de f :

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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