Enunciado

  1. Comparando áreas, mostre que ln 2 < 1 < ln 3 .
  2. Deduza que 2 < e < 3 .

Passo 1

Tomemos a curva y = 1 // t e vamos desenhar n retângulos de tal forma que todos esses retângulos estejam abaixo da nossa curva. Sendo assim, se pegarmos para avaliar nessa curva entre x = 1 e x = 2 a área que vamos encontrar nos fornece uma aproximação para ln ( 2 ) que vai ser menor que 1. Sendo assim, conseguimos concluir que

ln ( 2 ) < 1

Repetindo esse mesmo processo, porém, com retângulos que estão acima da nossa curva em análise e com x variando de 1 a 3, obteremos uma aproximação para ln ( 3 ) que é maior do que 1 e assim teremos

ln (3) > 1

Juntando ambos os resultados vamos ter que

ln (2) < 1 < ln ( 3 )

Passo 2

Da desigualdade anterior tiramos que

ln (2) < 1 < ln (3)

Devemos lembrar que ln ( e ) = 1 assim, poderemos reescrever nossa desigualdade como sendo

ln (2) < ln (e) < ln (3) harr 2 < e < 3

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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