Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar o gráfico da curva. No passo D , ache uma equação para a assíntota oblíqua.

y = ( x + 1 ) 3 ( x - 1 ) 2

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função está definida em todos os pontos, exceto em x = 1 . Dessa forma, nosso domínio é o conjunto de números reais exceto x = 1 . - ∞ , 1 ∪ ( 1 , ∞ )

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre quando f 0 = 1 . Nossa função intercepta o eixo x em f x = 0 .

( x + 1 ) 3 ( x - 1 ) 2 = 0

( x + 1 ) 3 = 0

Solucionando a equação, temos

x = - 1

Dessa forma, nossa função intercepta o eixo x em x = - 1

( C ) Simetria

Não há simetria no gráfico.

( D ) Assíntotas

O gráfico não possui assíntotas horizontais. Isso ocorre pois quando x → ± ∞ o limite não existe. Em compensação, quando calculamos o limite

l i m x → 1 f x = ∞

Dessa forma, em x = 1 temos uma assíntota vertical.

Resolvendo o limite

lim x → ± ∞ ⁡ f x - ( x + 5 ) = 0

Então a reta x + 5 é a equação da assíntota oblíqua.

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f ' x = x + 1 2 ( x - 5 ) x - 1 3

Como f ' x > 0 , quando x < - 1 .   - 1 < x < 1 .   o u   x > 5 ,   e   f ' < 0 quando 1 < x < .   f está decrescendo em - ∞ , 1 e 5 , ∞ e crescendo em 1 ,   5 .

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

f 5 = 216 16 = 27 2

É ponto de mínimo local

Não há ponto de máximo local

  ( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f ' ' x = ( x + 1 ) ( 24 ) x - 1 4

Dessa forma, como f ' ' x > 0 se - 1 < x < 0   o u   x > 1 ,   e   f ' ' x < 0   s e   x < - 1 . f possui concavidade para cima em - 1 ,   1 e   ( 1 ,   ∞ ) e concavidade para baixo em ( - ∞ ,   - 1 )

Possui ponto de inflexão em ( - 1 ,   0 )

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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