Enunciado

Use o roteiro para esboçar o gráfico da curva. No passo D, ache a equação para assíntota obliqua.

y = x 3 x + 1 2

Passo 1

O primeiro passo (A )é determinar o domino da função. Ou seja, os pontos onde não há problema, nesse caso, como para x = - 1 , a função não esta bem definida (estaríamos dividindo por zero ) , então

D f = - ∞ ,   - 1 ∪ - 1 ,   ∞

Passo 2

O segundo passo (B) é encontrar as interseções com os eixos coordenados.

No nosso caso,

f x = 0   ⇔ x =   0  

Ou seja, o gráfico passa na origem.

Passo 3

O terceiro passo (C) é determinar a simetria, ou seja, se a função é par ou ímpar. No nosso caso, a função não é par e nem ímpar, pois para   x =   - 8 , temos que f - 2 = 4 3 e f 2 = 8 9   .  

Logo, nossa função é sem simetria

Passo 4

O quarto passo (D) é encontrar as assíntotas.

Como x = - 1 ∉ D f , façamos

lim x → - 1 - ⁡ f x = - ∞

E,

lim x → - 1 + ⁡ f x = ∞

Sendo assim, x = - 1 , é assintota vertical.

Agora, precisamos achar a assíntota obliqua. Como,

y = x 3 x + 1 2 = x - 2 + 3 x + 2 x + 1 2

(você pode confirmar isso fazendo a divisão do polinômio do numerados pelo o do denominador e lembrando que d i v i d e n d o = d i v i s o r ⋅ q u o c i e n t e + r e s t o , substituir a cancelar as contas )

Daí,

lim x → ± ∞ ⁡ [ f x - x - 2 ] =   l i m x → ± ∞   3 x + 2 x + 1 2 = 0  

Então a reta y =   x - 2 é assíntota obliqua .

Passo 5

Vamos para o passo E. Ou seja, achar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente além de nossos candidatos a máximo e mínimo.

Para isso, façamos

f ' x = 1 - 3 x + 1 2 - 3 x + 2 2 x + 1 x + 1   4 = x 4 + 4 x 3 - 3 x 2 - 6 x - 6 x + 1 4

Perceba que

f ' x < 0   ,   s e   x ∈ - ∞ ;   1 , ou seja, f é decrescente . E, f ' x > 0 ,   s e   x ∈ 1 ,   ∞ , ou seja, f   é crescente .

(você pode testar isso, atribuindo valores para x )

Passo 6

No passo F, devemos usar o teste da primeira derivada. Ou seja, achar os máximos e mínimos, se eles existirem.

Como f sai de decrescente para crescente em x = 1 ,   o ponto de máximo local é

f 1 ≈ 1 4

Não tem mínimo

Passo 7

Vamos ao penúltimo passo, o G. Aqui devemos analisar a concavidade da função, para isso façamos

f ' ' x = 18 x 2 + 12 x + 18 x 5 + 5 x 4 + 10 x 3 + 10 x 2 + 5 x + 1  

Temos que

f ' ' > 0 se x > - 1   , então f é côncava para cima em - 1 ,   ∞ . E, f ' ' x < 0     s e   x < - 1   ou seja, fe é cncava para baixo ( - ∞ , -   1 )

(você pode testar isso atribuindo valores para x )

Passo 8

Aqui vamos juntar todos os passos, ou seja, vamos desenhar o gráfico.

Resposta

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