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Use um SCA para calcular a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo y . Se seu SCA tiver problemas para calcular a integral, expresse a área da superfície como uma integral na outra variável

y = x 3 ,     0 ≤ y ≤ 1

Passo 1

Aqui usaremos uma tabela de integral para encontrar uma expressão para o valor da integral, mas usando um SCA o resultado obtido será o mesmo, pra isso, precisamos lembrar como é a área de uma superfície de revolução, que é da seguinte forma

S = ∫ c d 2 π x 1 + d y d x 2   d x

Então, vamos primeiro calcular y '

y ' = 3 x 2

Agora, vamos calcular o d s

d s = 1 + d y d x 2 d x = 1 + 9 x 4   d x

Passo 2

Agora, podemos calcular S , só substituirmos o que já encontramos

S = ∫ 0 1 2 π   x 1 + 9 x 4   d x = 2 π ∫ 0 1 x 1 + 9 x 4   d x

Agora, seja u = 3 x 2 , temos que d u = 6 x   d x . Substituindo, ficamos com

2 π ∫ 0 1 x 1 + 9 x 4   d x = 2 π ∫ 0 3 1 + u 2   1 6 d u = π 3 ∫ 0 3 1 + u 2   d u

Usando uma tabela de integrais, obtemos o resultado

π 3 ∫ 0 3 1 + u 2   d u = π 3 1 2 u 1 + u 2 + 1 2 ln ⁡ u + 1 + u 2 0 3 = π 3 3 2 10 + 1 2 ln ⁡ 3 + 10 = π 6 3 10 + ln ⁡ 3 + 10

Resposta

S = π 6 3 10 + ln ⁡ 3 + 10

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