Enunciado

A curva dada é rotacionada em torno do eixo y . Encontre a área da superfície resultante.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

y = 1 3 x 3 / 2 , 0 ≤ x ≤ 12

Conforme vimos nessa seção do livro, a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo y é dada pela fórmula 8:

S = ∫ 2 π x d s

E, tendo:

d s = 1 + d y d x 2 d x

Substituindo d s na equação anterior:

S = ∫ 2 π x 1 + d y d x 2 d x

Passo 2

Então já sabemos o que precisamos calcular, o valor da derivada de y :

y ' = 1 2 x 1 2

Substituindo esse valor na fórmula da área de superfície encontrada no passo 1:

S = ∫ 0 12 2 π x 1 + 1 2 x 1 / 2 2 d x = 2 π ∫ 0 12 x 1 + 1 4 x d x

E, reescevendo a integral, temos:

S = 2 π ∫ 0 12 1 2 x 4 + x d x = π ∫ 0 12 x 4 + x d x

Agora precisamos resolver essa integral, e ela sai fácil por substituição, fazendo u = x + 4 → d u = d x , temos:

S = π ∫ 4 1 6 u - 4 u d u = π ∫ 4 16 u 3 / 2 - 4 u 1 / 2 d u

Passo 3

Agora, resolvendo a integral, temos:

S = π 2 5 u 5 2 - 8 3 u 3 2 4 16 = π 2 5 16 5 2 - 8 3 16 3 2 - 2 5 4 5 2 - 8 3 4 3 2

S = π 2 5 1024 - 8 3 64 - 2 5 32 - 8 3 8 = π 5952 - 2240 15

E, finalmente, temos:

S = 3712 π 15

Resposta

S = 3712 π 15

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