Enunciado

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  1. Use a Regra do Ponto Médio para as integrais duplas com m = n = 2 para estimar a área da superfície z = x ⋅ y + x 2 + y 2 , 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2
  2. Use um sistema de computação algébrica para aproximar a área da superfície da parte (a) com precisão de quatro casas decimais. Compare com sua resposta para a parte (a).

Passo 1

Para resolver esse problema, vamos utilizar a equação dada na seção 15.1 para calcular a integral de superfície e após isso utilizar um software para calcular com maior precisão o valor da integral.

Passo 2

Queremos calcular a seguinte integral:

A S = ∫ ∫ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 ⋅ d A   = ∫ ∫ D y + 2 ⋅ x 2 + x + 2 ⋅ y 2 + 1 ⋅ d A  

Usando a regra do ponto médio, chegamos que os pontos dos quatro quadrados são 1 2 , 1 2 ,   1 2 , 3 2 ,   3 2 , 1 2   e   ( 3 2 , 3 2 ) . Assim, temos que, pela regra, nossa integral será

A S ≈ Δ A ⋅ 1 2 + 2 ⋅ 1 2 2 + 1 2 + 2 ⋅ 1 2 2 + 1 + 3 2 + 2 ⋅ 1 2 2 + 1 2 + 2 ⋅ 3 2 2 + 1 + 1 2 + 2 ⋅ 3 2 2 + 3 2 + 2 ⋅ 1 2 2 + 1 + 3 2 + 2 ⋅ 3 2 2 + 3 2 + 2 ⋅ 3 2 2 + 1 =

= 1 ⋅ 22 2 + 78 2 + 78 2 + 166 2 = 17.6190

Passo 3

Utilizando um software para calcular a integral A S = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 + y + 2 ⋅ x 2 + x + 2 ⋅ y 2 ⋅ d A , chegamos em

A S ≈ 17.7165

Vemos que é uma aproximação numérica muito boa em comparação com o cálculo feito por um software. O erro está na primeira casa decimal.

Resposta

  1. A S ≈ 17.6190
  2. A S ≈ 17.7165

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