Enunciado

Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência.

1 - x 2 / 3

Passo 1

Podemos reescrever a função como

1 - x 2 / 3 = 1 + - x 2 / 3

Então podemos colocar na série binomial que é da forma

1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n = 1 + k x + k ( k - 1 ) 2 ! x 2 + k ( k - 1 ) ( k - 2 ) 3 ! x 3 + …

Onde temos k = 2 / 3 , então

1 - x 2 / 3 = ∑ n = 0 ∞ 2 / 3 n - x n = 1 - 2 3 x + 2 3 2 3 - 1 2 ! x 2 - 2 3 2 3 - 1 2 3 - 2 3 ! x 3 + …

= 1 - 2 3 x + 2 3 - 1 3 2 ! x 2 - 2 3 - 1 3 - 4 3 3 ! x 3 + …

Passo 2

A série binomial genérica

1 + x k = ∑ n = 0 ∞ k n x n

Converge para x < 1 , temos que

∑ n = 0 ∞ 2 / 3 n - x n

Converge para

- x = x < 1

Portanto R = 1 .

Resposta

1 - x 2 / 3 = ∑ n = 0 ∞ 2 / 3 n - x n

R = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os polinômios de Taylor até o grau 3 de f x = 1 / x centrados em a = 1 . Trace f e esses polinômios na mesma tela.Calcule f e esses polinômios em x = 0,9 e 1,3 .Comente como os polinômios de
Encontre o polinômio de Taylor T 3 ( x ) da função f em a . Trace f e T 3 na mesma tela. f x = e - x sen ⁡ x , a = 0
Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n ( x ) quando x estiver no intervalo dado.Verifique seu resultado na
Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n ( x ) quando x estiver no intervalo dado.Verifique seu resultado na
Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n ( x ) quando x estiver no intervalo dado.Verifique seu resultado na