Enunciado

  1. Aproxime f por um polinômio de Taylor com grau n em a .
  2. Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x ≈ T n ( x ) quando x estiver no intervalo dado.
  3. Verifique seu resultado na parte (b) traçando R n x

f x = x ,                     a = 4 ,                     n = 2 ,                     4 ≤ x ≤ 4,2

Passo 1

  1. Primeiramente, para encontrar os polinômios de Taylor vamos usar o formato da série de Taylor é
  2. ∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

    Para n = 2 precisaremos até a segunda derivada, então derivando e substituindo no centro x = 4

    f = x = x 1 / 2 ⇒ f 4 = 2

    f ' = 1 2 x - 1 / 2 ⇒ f ' ( 4 ) = 1 / 4

    f ' ' = - 1 4 x - 3 / 2 ⇒ f ' ' 4 = - 1 32

    Então nosso polinômio é

    T 2 = 2 + 1 4 x - 4 - 1 / 32 2 ! x - 4 2

    = 2 + 1 4 x - 4 - 1 64 x - 4 2

    Passo 2

  3. Para usar a desigualdade de Taylor temos a seguinte relação, se f n + 1 ( x ) ≤ M , então
  4. R n x < M n + 1 ! x - a n + 1

    Então para estimar o erro, vamos precisar primeiramente da terceira derivada

    f ' ' ' x = 3 8 x - 5 / 2 = 3 8 x 5

    Agora precisamos de um valor M que seja maior que essa função em todo o intervalo 4 ≤ x ≤ 4,2 , para isso podemos analisar o seguinte, em todo o intervalo a função de f ' ' ' x está decrescente, então se pegarmos o menor valor do intervalo ( 4 ) e substituirmos, podemos dizer que

    f ' ' ' x ≤ f ' ' ' 4 ,                     x ∈ [ 4,4.2 ]

    Então podemos usar

    M = f ' ' ' 4 = 3 256

    Passo 3

    Temos então que

    R 2 x < 3 / 256 3 ! x - 4 3

    Agora precisamos do valor de x - 4 3 , se manipularmos o intervalo 4 ≤ x ≤ 4,2 subtraindo 4 em todas as partes da igualdade

    0 ≤ x - 4 ≤ 0,2

    Podemos colocar em módulo

    x - 4 ≤ 0,2

    Elevando ao cubo

    x - 4 3 ≤ 0,008

    Logo

    R 2 x < 3 / 256 3 ⋅ 2 ( 0,008 )

    R 2 x < 0,008 512 = 0,000015625 = 1,6 × 10 - 5

    Passo 4

  5. Traçando o gráfico de | R n | , para achar a função R n vamos usar a definição que diz

R n = f x - T n

R 2 = x - T 2

R 2 = x - 2 + 1 4 x - 4 - 1 64 x - 4 2

R 2 = x - 2 + 1 4 x - 4 - 1 64 x - 4 2

No plano

Pelo gráfico parece que o erro é menor que 1,5 × 10 - 5 .

Resposta

  1. T 2 = 2 + 1 4 x - 4 - 1 64 x - 4 2
  2. R 2 x ≤ 1,6 × 10 - 5
  3. y = | R 2 ( x ) |

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Aproxime f por uma série polinomial de Taylor, com grau n no ponto a . Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x = T n ( x ) quando x está no intervalo dado. Verifique o
Um disco uniformemente carregado tem raio R e densidade de carga superficial σ como na figura. O potencial elétrico V no ponto P a uma distância d ao longo do eixo perpendicular central do disco é V =
Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada . f x = e - x / 2
Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada . f x = cos 2 ⁡ x
Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada . f x = x ⋅ t g - 1 x