Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.11 - Ex. 13
- Aproxime por um polinômio de Taylor com grau em .
- Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.
- Verifique seu resultado na parte (b) traçando
Passo 1
- Primeiramente, para encontrar os polinômios de Taylor vamos usar o formato da série de Taylor é
- Para usar a desigualdade de Taylor temos a seguinte relação, se , então
- Traçando o gráfico de , para achar a função vamos usar a definição que diz
Para precisaremos até a segunda derivada, então derivando e substituindo no centro
Então nosso polinômio é
Passo 2
Então para estimar o erro, vamos precisar primeiramente da terceira derivada
Agora precisamos de um valor que seja maior que essa função em todo o intervalo , para isso podemos analisar o seguinte, em todo o intervalo a função de está decrescente, então se pegarmos o menor valor do intervalo () e substituirmos, podemos dizer que
Então podemos usar
Passo 3
Temos então que
Agora precisamos do valor de , se manipularmos o intervalo subtraindo em todas as partes da igualdade
Podemos colocar em módulo
Elevando ao cubo
Logo
Passo 4
No plano
Pelo gráfico parece que o erro é menor que .
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Aproxime f por uma série polinomial de Taylor, com grau n no ponto a . Use a desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação f x = T n ( x ) quando x está no intervalo dado. Verifique o
Um disco uniformemente carregado tem raio R e densidade de carga superficial σ como na figura. O potencial elétrico V no ponto P a uma distância d ao longo do eixo perpendicular central do disco é V =
Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada . f x = e - x / 2
Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada . f x = cos 2 x
Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada . f x = x ⋅ t g - 1 x