Enunciado

Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada .

f x = sen ⁡ x 4

Passo 1

Bom, para resolvermos esta questão não precisamos desenvolver nenhuma série de Maclaurin em si. Basta voltarmos na seção do livro e adaptarmos as séries já desenvolvidas!

Vamos começar relembrando qual a série para a função f x = sen ⁡ x . Temos então a seguinte série:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

Pronto, precisamos pegar esta série acima e adaptá-la de alguma forma para o nosso problema.

Percebam que a diferença entre sen ⁡ x e sen ⁡ x 4 . Se fizermos x = x 4 na primeira equação, obteremos a segunda. Pronto, esta é a ideia do que precisamos fazer. No lugar de x na série acima, vamos substituir por x 4 . Portanto,

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 2 n + 1 2 n + 1 !

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 8 n + 4 2 n + 1 !

Pronto! Chegamos à série de Maclaurin para a função f x = sen ⁡ x 4 .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 8 n + 4 2 n + 1 !

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