Enunciado

Encontre a série de Taylor para f x centrada no valor dado de a . [Assuma que f tem expansão em uma série de potências. Não mostre que R n x → 0 .]

f x = ln ⁡ x ,     a = 2

Passo 1

Vamos começar relembrando como é dada uma série de Taylor.

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

Como temos o valor a = 2 , a série vai ser dada por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 2 n ! x - 2 n

Precisamos determinar agora as derivadas da função f .

Passo 2

Vamos começar derivando a função f ( x ) . Portanto,

f ' x = 1 x

f ' ' ( x ) = - 1 x 2

f 3 x = 2 x 3

f 4 x = - 6 x 4

Poderíamos continuar derivado a nossa função. No final, podemos escrever essas derivadas, contando a partir da primeira derivada, da seguinte forma:

f n x = - 1 n - 1 n - 1 ! x n

Agora, basta aplicarmos quando x = 2 e substituirmos na nossa série de Taylor. Observem que vamos substituir somente quando n = 1 (o que conta a partir da primeira derivada.

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 2 n ! x - 2 n

f x = f 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n - 1 ! 2 n ⋅ 1 n ! ⋅ x - 2 n

f x = ln ⁡ 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n ⋅ 2 n ⋅ x - 2 n

Pronto! Chegamos a nossa série!

Resposta

f x = ln ⁡ 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n ⋅ 2 n ⋅ x - 2 n

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