Enunciado

Encontre a série de Maclaurin f (por qualquer método), e seu raio de convergência. Plote f e seus primeiros polinômios na mesma tela. O que você observa sobre a relação entre esses polinômios e f ?

f x = 1 + x

Passo 1

Vamos utilizar a definição de uma série de Maclaurin para obter a série da nossa função f . Logo, a série de Maclaurin da função f é dada por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Cabe a nós agora obtermos as derivadas da função f , aplica-las no ponto x = 0 e tentar identificar o padrão delas! Vamos começar a derivar a nossa função então.

f 0 = 1

f ' x = 1 2 ⋅ 1 + x - 1 2 ⟹ f ' 0 = 1 2

f ' ' x = - 1 4 ⋅ 1 + x - 3 2 ⟹ f ' ' 0 = - 1 4

f ( 3 ) = 3 8 ⋅ 1 + x - 5 2 ⟹ f 3 0 = 3 8

f ( 4 ) = - 15 16 ⋅ 1 + x - 7 2 ⟹ f 4 0 = - 15 16

Se continuarmos fazendo estas derivadas, vamos observar que a derivada de ordem n aplicada em x = 0 pode ser expressar por:

f n = - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ ( 2 n - 3 ) 2 n

Quando n ≥ 2 . Portanto, a função é escrita através da série de Maclaurin por:

f x = 1 + x = 1 + 1 2 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ ( 2 n - 3 ) 2 n ⋅ n ! x n

Passo 2

Para determinarmos o raio de convergência, vamos utilizar o teste da razão. Portanto,

a n + 1 a n = - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 3 2 n - 1 ⋅ x n + 1 2 n + 1 ⋅ n + 1 ! ⋅ 2 n ⋅ n ! - 1 n - 1 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 3 ⋅ x n

- 1 ⋅ 2 n - 1 ⋅ x 2 n

Calculando o limite quando n → ∞ , temos

lim n → ∞ ⁡ - 1 ⋅ 2 n - 1 ⋅ x 2 n = x < 1

Portanto, o raio de convergência é R = 1 .

Passo 3

Só nos falta obter o plot da nossa função f e das primeiras aproximações. Para isto, vamos utilizar softwares que nos ajudem no esboço!

Vejamos abaixo as primeiras aproximações.

Pode-se observar que à medida em que aumentamos a ordem do polinômio, a função se aproxima cada vez mais da curva f x = 1 + x .

Resposta

f x = 1 + 1 2 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n - 1 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ ( 2 n - 3 ) 2 n ⋅ n ! x n

Raio de convergência igual a 1.

À medida em que aumentamos a ordem do polinômio, a função se aproxima cada vez mais da curva f x = 1 + x .

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