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Use série de potência para resolver a equação diferencial.

y ' ' = x y

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e devemos resolvê-la usando série de potência. Então vamos supor uma solução do tipo série:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

A derivada em relação à x é:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1

E a derivada segunda é:

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2

E vamos substituir na equação diferencial:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2 - x ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0

E já vamos colocar para dentro do somatório o x que está no segundo somatório do lado esquerdo:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2 - ∑ n = 0 ∞ c n x n + 1 = 0

Passo 2

A primeira coisa a ser feita para resolver uma equação diferencial por série de potência é igualar os expoentes dos somatórios. Sempre buscando deixa-los na maior potência de x   possível. No nosso caso o maior expoente é do termo de x com potência n + 1 . Então vamos arrumar o primeiro somatório do lado esquerdo:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2

Vamos substituir o índice original n - 2 por n ' + 1 . Assim vamos ter n - 2 → n ' + 1 , então o n original vai virar n → n ' + 3 :

∑ n ' + 3 = 2 ∞ ( n ' + 3 ) . ( n ' - 1 + 3 ) c n ' + 3 x n ' + 3 - 2

∑ n ' = - 1 ∞ ( n ' + 3 ) . ( n ' + 2 ) c n ' + 3 x n ' + 1

E por simplicidade podemos trocar o índice n ' por n novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)

∑ n = - 1 ∞ ( n + 3 ) . ( n + 2 ) c n + 3 x n + 1

E podemos agora podemos substituir novamente na equação diferencial:

∑ n = - 1 ∞ ( n + 3 ) . ( n + 2 ) c n + 3 x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ c n x n + 1 = 0

Passo 3

Bom, agora que temos todos os x com a mesma potência, vamos olhar para o início dos somatórios. Um deles começa em - 1 , e o outro em 0 , então devemos colocar o primeiro termo do somatório que começa com n = - 1 para fora e assim deixar todos somatórios começando em 0 (sempre deixar com o maior índice comum a todos):

2 c 2 + ∑ n = 0 ∞ ( n + 3 ) . ( n + 2 ) c n + 3 x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ c n x n + 1 = 0

E agora podemos juntar os somatórios em uma única soma:

2 c 2 + ∑ n = 0 ∞ ( n + 3 ) . ( n + 2 ) c n + 3 - c n x n + 1 = 0

Daqui tiramos duas informações: c 2 = 0 e também:

( n + 3 ) . ( n + 2 ) c n + 3 - c n = 0

E assim temos uma fórmula de recorrência:

c n + 3 = c n n + 3 ( n + 2 )

Agora vamos ver qual a sequência que vai representar. Vamos variar o valor de n :

  • n = 0 :
  • c 3 = c 0 2.3

  • n = 1 :
  • c 4 = c 1 4.3

  • n = 2 :
  • c 5 = c 2 5.4 = 0

  • n = 3 :
  • c 6 = c 3 6.5 = c 0 2.3 . 5.6

  • n = 4 :
  • c 7 = c 4 6.7 = c 1 3.4 . 6.7

  • n = 5 :

c 8 = c 5 = 0

E assim por diante...

Podemos observar que os termos c 2 = c 5 = c 8 = c 3 n + 2 = 0 .

Agora vamos ver os múltiplos de c 0 :

c 3 = c 0 2.3 ,       c 6 = c 0 2.3 . 5.6 ,     c 9 = c 0 2.3 . 5.6 . 8.9

Se multiplicarmos em cima e embaixo por 1.4 . 7 … ficamos com:

c 3 n = 1.4 . 7 … 3 n - 1 c 0 3 n !

Agora vamos ver os múltiplos de c 1 :

c 4 = c 1 4.3 , c 7 =   c 1 3.4 . 6.7 ,   c 10 = c 1 3.4 . 6.7 . 9.10  

Ou seja:

c 3 n + 1 = 2.5 . 8 … 3 n - 1 c 1 3 n + 1 !

Assim a solução y ( x ) fica:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n = ∑ n = 0 ∞ 1.4 . 7 … 3 n - 1 c 0 3 n ! x 3 n + 2.5 . 8 … 3 n - 1 c 1 3 n + 1 ! x 3 n + 1

E é essa a solução!

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n = ∑ n = 0 ∞ 1.4 . 7 … 3 n - 1 c 0 3 n ! x 3 n + 2.5 . 8 … 3 n - 1 c 1 3 n + 1 ! x 3 n + 1

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