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Use série de potência para resolver a equação diferencial.

( x - 1 ) y ' ' + y ' = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e devemos resolvê-la usando série de potência. Então vamos supor uma solução do tipo série:

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

A derivada em relação à x é:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1

E a derivada segunda é:

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2

E vamos substituir na equação diferencial:

x ∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2 - ∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1 = 0

E já vamos colocar para dentro do somatório o x que está no primeiro somatório do lado esquerdo:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 1 - ∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2 + ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1 = 0

Passo 2

A primeira coisa a ser feita para resolver uma equação diferencial por série de potência é igualar os expoentes dos somatórios. Sempre buscando deixa-los na maior potência de x   possível. No nosso caso o maior expoente é do termo de x com potência n - 1 . Então vamos arrumar o segundo somatório do lado esquerdo:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 2

Vamos substituir o índice original n - 2 por n ' - 1 . Assim vamos ter n - 2 → n ' - 1 , então o n original vai virar n → n ' + 1 :

∑ n ' + 1 = 2 ∞ ( n ' + 1 ) . ( n ' - 1 + 1 ) c n ' + 1 x n ' + 1 - 2

∑ n ' = 1 ∞ ( n ' + 1 ) . ( n ' ) c n ' + 1 x n ' - 1

E por simplicidade podemos trocar o índice n ' por n novamente. Aqui é só uma mudança de índice, então o nome não importa efetivamente, apenas as somas =)

∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) . ( n ) c n + 1 x n - 1

E podemos agora podemos substituir novamente na equação diferencial:

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 1 - ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) . ( n ) c n + 1 x n - 1 + ∑ n = 1 ∞ n . c n x n - 1 = 0

Passo 3

Bom, agora que temos todos os x com a mesma potência, vamos olhar para o início dos somatórios. Dois deles começam em 1 , e um em 2 , então devemos colocar o primeiro termo dos que começam com n = 1 para fora e assim deixar todos somatórios começando em 2 (sempre deixar com o maior índice comum a todos):

∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 1 - 2 c 2 - ∑ n = 2 ∞ ( n + 1 ) . ( n ) c n + 1 x n - 1 + c 1 + ∑ n = 2 ∞ n . c n x n - 1 = 0

Assim temos:

c 1 - 2 c 2 + ∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n x n - 1 - ∑ n = 2 ∞ ( n + 1 ) . ( n ) c n + 1 x n - 1 + ∑ n = 2 ∞ n . c n x n - 1 = 0

c 1 - 2 c 2 + ∑ n = 2 ∞ n . ( n - 1 ) c n - ( n + 1 ) . ( n ) c n + 1 + n . c n x n - 1 = 0

c 1 - 2 c 2 + ∑ n = 1 ∞ n 2 c n - n n + 1 c n + 1 x n - 1 = 0

Assim temos que c 2 = 1 2 c 1 .

E mais, como x n ≠ 0 , para essa expressão ter validade o termo dentro dos colchetes tem de ser zero:

n 2 c n - n n + 1 c n + 1 = 0

c n + 1 = n c n n + 1

Lembrando que c 2 = 1 2 c 1 , chegamos à fórmula de recorrência:

  • Para n = 2 :
  • c 3 = 2 c 2 3 = c 1 3

  • Para n = 3 :
  • c 4 = 3 c 3 4 = c 1 4

  • Para n = 4 :
  • c 5 = 4 c 4 5 = c 1 5

  • Para n = 5 :

c 6 = 5 c 5 6 = c 1 6

E assim por diante. Se seguirmos vamos chegar a :

c n = c 1 n ,   n = 1,2 , 3 …

Para um dado c 0 , a solução fica (resgatando lá do passo 1 a solução y ( x ) ):

y x = ∑ n = 0 ∞ c n x n

Como c n acabamos de determinar, agora é só substituir ali (com o somatório começando em 1 e com o termo c 0 separado tá!):

y x = c 0 + ∑ n = 1 ∞ c 1 n x n = c 0 + c 1 ∑ n = 1 ∞ x n n

E é essa a resposta!

Vamos pra próxima?

Resposta

y x = c 0 + c 1 ∑ n = 1 ∞ x n n

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