Enunciado

Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais.

∫ 0 0,3 x 2 1 + x 4 d x

Passo 1

Podemos reescrever o integrando como uma série de potências:

x 2 1 + x 4 = x 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n  

Passo 2

Integrando essa série temos:

∫ 0 0,3 x 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n d x = ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 0,3 - 1 n x 4 n + 2 d x

Que nos resulta em:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 3 4 n + 3  

Avaliando os limites de integração temos por fim:

∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 4 n + 3 4 n + 3 10 4 n + 3  

Passo 3

Tomando apenas 2 termos dessa série temos:

3 3 3 ∙ 10 3 - 3 7 7 ∙ 10 7 ≈ 0,008969

Resposta

Usando uma série de potências, a integral dada é aproxidamente 0,008969 .

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