Enunciado

Use séries para avaliar o limite.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar o seguinte limite:

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(1 + x - e^x)

Podemos reescrever o termo cos x como:

cos x = 1 + (1)/(2 !) x^2 + (1)/(4 !) x^4 - (1)/(6 !) x^6 + ...

E o termo e^x como:

e^x = 1 + x + (1)/(2 !) x^2 + (1)/(3 !) x^3 + (1)/(4 !) x^4 + (1)/(5 !) x^5 + (1)/(6 !) x^6 + ...

Passo 2

Sendo assim, podemos reescrever o limite como:

underset(x -> 0)(lim) (1 - ( 1 - (1)/(2 !) x^2 + (1)/(4 !) x^4 - (1)/(6 !) x^6 + ... ))/(1 + x - ( 1 + x + (1)/(2 !) x^2 + (1)/(3 !) x^3 + (1)/(4 !) x^4 + (1)/(5 !) x^5 + (1)/(6 !) x^6 + ... ))

= underset(x -> 0)(lim) ((1)/(2 !) x^2 - (1)/(4 !) x^4 - (1)/(6 !) x^6 - ...)/(- (1)/(2 !) x^2 - (1)/(3 !) x^3 - (1)/(4 !) x^4 - (1)/(5 !) x^5 - (1)/(6 !) x^6 - ...)

Passo 3

Simplificando o termo em comum x^2 que aparece no numerador e denominador, temos:

underset(x -> 0)(lim) ((1)/(2 !) - (1)/(4 !) x^2 - (1)/(6 !) x^4 - ...)/(- (1)/(2 !) - (1)/(3 !) x - (1)/(4 !) x^2 - (1)/(5 !) x^3 - (1)/(6 !) x^4 - ...) = ((1)/(2) - 0)/(- (1)/(2) - 0) = - 1

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(1 + x - e^x) = - 1

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