Enunciado

Use séries para avaliar o limite.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar o seguinte limite:

underset(x -> 0)(lim) (sen x - x + (1)/(6) x^3)/(x^5)

Podemos reescrever o termo sen x como:

sen x = x - (1)/(3 !) x^3 + (1)/(5 !) x^5 - (1)/(7 !) x^7 + (1)/(9 !) x^9 - ...

Passo 2

Sendo assim, podemos reescrever o limite como:

underset(x -> 0)(lim) ((x - (1)/(3 !) x^3 + (1)/(5 !) x^5 - (1)/(7 !) x^7 + (1)/(9) x^9 - ...) - x + (1)/(6) x^3)/(x^5)

underset(x -> 0)(lim) ((1)/(5 !) x^5 - (1)/(7 !) x^7 + (1)/(9) x^9 - ...)/(x^5)

Passo 3

Simplificando o termo em comum x^5 que aparece no numerador e denominador, temos:

underset(x -> 0)(lim) (1)/(5 !) - (x^2)/(7 !) + (x^4)/(9 !) - ... = (1)/(5 !) = (1)/(120)

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (sen x - x + (1)/(6) x^3)/(x^5) = (1)/(120)

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