Enunciado

Use séries para calcular o limite.

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(1 + x - e^x)

Passo 1

Para calcular o limite vamos substituir cos x e e^x por suas respectivas séries.

cos x = sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n (x^(2 n))/((2 n) !) = 1 - (x^2)/(2) + (x^4)/(4 !) - (x^6)/(6 !) + ...

e^x = sum_(n = 0)^(oo) (x^n)/(n !) = 1 + x + (x^2)/(2) + (x^3)/(3 !) + (x^4)/(4 !) + (x^5)/(5 !) + ...

Substituindo no limite

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(1 + x - e^x) = underset(x -> 0)(lim) (1 - (1 - (x^2)/(2) + (x^4)/(4 !) - (x^6)/(6 !) + ...))/(1 + x - (1 + x + (x^2)/(2) + (x^3)/(3 !) + (x^4)/(4 !) + (x^5)/(5 !) + ...))

Passo 2

Temos que

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(1 + x - e^x) = underset(x -> 0)(lim) (1 - 1 + (x^2)/(2) - (x^4)/(4 !) + (x^6)/(6 !) - ...)/(1 + x - 1 - x - (x^2)/(2) - (x^3)/(3 !) - (x^4)/(4 !) - (x^5)/(5 !) - ...)

= underset(x -> 0)(lim) ((x^2)/(2) - (x^4)/(4 !) + (x^6)/(6 !) - ...)/(- (x^2)/(2) - (x^3)/(3 !) - (x^4)/(4 !) - (x^5)/(5 !) - ...)

Colocando x^2 em evidencia no numerador e denominador

= underset(x -> 0)(lim) (x^2 ((1)/(2) - (x^2)/(4 !) + (x^4)/(6 !) - ...))/(x^2 (- (1)/(2) - (x)/(3 !) - (x^2)/(4 !) - (x^3)/(5 !) - ...)) = underset(x -> 0)(lim) (((1)/(2) - (x^2)/(4 !) + (x^4)/(6 !) - ...))/((- (1)/(2) - (x)/(3 !) - (x^2)/(4 !) - (x^3)/(5 !) - ...))

= (1 // 2)/(- 1 // 2) = - 1

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (1 - cos x)/(1 + x - e^x) = - 1

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