Cálculo de Limites Através de Séries de Taylor

Teoria Completa

Revisão – Série de Taylor

Série de Taylor é uma forma de representar funções em séries de potências! Ela é representada pela seguinte equação: f x = ∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n = f a + f ' a 1 ! x - a + f ' ' a 2 ! x - a 2 + f ' ' ' a 3 ! x - a 3 …

Essa equação é a expansão de f ( x ) em torno de um ponto a .

Para obter a expansão em séries de Taylor devemos seguir alguns passos:

Passo 1: Calcular as primeiras derivadas das funções e encontrar um padrão para escrever a derivada f n ( x ) em função de n .

Passo 2: Ver onde está centrada a série e aplicá-la no somatório apresentado acima!

Cálculo de Limites usando séries

Uma importante aplicação das séries de Taylor é facilitar o cálculo de limites, substituindo a função por séries de potências, que são polinômios!

Vamos ver um exemplo que vai nos ajudar a entender melhor com aplicar!

Exemplo: Calcule

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x 2

Passo 1: Para calcular este limite, não podemos substituir x = 0 pois caíremos numa divisão por 0 .

Então se conseguirmos escrever e x como um polinômio, sorte nossa que a série de Maclaurin de e x é conhecido!

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + …

Passo 2: Vamos substituir o polinômio com quatro termos na função e achar como podemos aproximar esta função!

e x - 1 - x x 2 =   1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! - 1 - x x 2

e x - 1 - x x 2 =   x 2 2 + x 3 6 x 2

e x - 1 - x x 2 =   1 2 + x 6

Passo 3: Substituindo no limite:

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x 2 =   lim x → 0 ⁡ 1 2 + x 6

Agora podemos substituir x = 0 pois não caímos em nenhuma indeterminação!

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x 2 =   lim x → 0 ⁡ 1 2 + x 6 =   1 2 + 0 6

lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x 2 = 1 2

Conseguimos calcular o limite usando séries!!

Vamos ver alguns exercícios para ajudar a entender cada vez mais esta aplicação!

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 710, exercício 58

Use a série

t g x = x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 + …

Para calcular

lim x → 0 ⁡ t g x - x x 3  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de calcular o limite vamos reescrever a função que queremos encontrar o limite! Para isso vamos substituir

t g x = x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 + …

Usando apenas os três primeiros termos, assim teremos

t g x - x x 3 =   x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 - x x 3  

t g x - x x 3 =   1 3 x 3 + 2 15 x 5 x 3

t g x - x x 3 = 1 3 + 2 15 x 2

Passo 2

Agora que já aproximamos a função, vamos calcular o limite!

lim x → 0 ⁡ t g x - x x 3 =   lim x → 0 ⁡ 1 3 + 2 15 x 2

Esse limite é bem mais simples de calcular, vamos substituir x = 0

lim x → 0 ⁡ 1 3 + 2 15 x 2 = 1 3 + 2 15 0 2   = 1 3

Resposta

Assim, teremos

lim x → 0 ⁡ t g x - x x 3 = 1 3

Exercício Resolvido #2

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 710, exercício 56

Use séries para calcular o limite

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + x - e x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para calcular este limite, não podemos substituir x = 0 pois caíremos numa divisão por 0 .

Então se conseguirmos escrever e x e cos ⁡ x   como um polinômio, sorte nossa que a série de Maclaurin destas funções são conhecidas!

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + …

cos ⁡ x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - x 6 6 ! + …

Passo 2

Vamos substituir o polinômio com quatro termos na função e achar como podemos aproximar esta função!

1 - cos ⁡ x 1 + x - e x =   1 - 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! 1 + x - ( 1 + x + x 2 2 ! )

1 - cos ⁡ x 1 + x - e x =   x 2 2 - x 4 24 - x 2 2

1 - cos ⁡ x 1 + x - e x =   - x 2 2 + x 4 24 × 2 x 2

1 - cos ⁡ x 1 + x - e x = x 2 12 - 1

Passo 3

Substituindo no limite

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + x - e x =   lim x → 0 ⁡ x 2 12 - 1

Agora podemos substituir x = 0 pois não caímos em nenhuma indeterminação!

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + x - e x = 0 2 12 - 1  

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + x - e x = - 1  

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 1 + x - e x = - 1  

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