Enunciado

Use um sistema de álgebra computacional ou uma tabela de integrais para indicar o comprimento exato do arco da curva y = e x que fica entre os pontos ( 0 ,   1 ) e ( 2 , e 2 ) .

Passo 1

Inicialmente, devemos escrever a integral que fornece o comprimento do arco e tentar calculada usando uma calculadora gráfica,

Derivando a função, temos

d y d x = e x

1 + d y d x 2 = 1 + e 2 x

Assim, temos

L = ∫ 0 2 1 + e 2 x d x

Passo 2

Utilizando uma calculadora gráfica, aplicamos o método da subtituição:

u = e x             ∴                 d u = e x d x

L = ∫ 0 2 1 + e 2 x d x = ∫ 1 e 2 1 + u 2 ( 1 u d u )

= 1 + u 2 - ln ⁡ 1 + 1 + u 2 u 1 e 2

= 1 + e 4 - ln ⁡ 1 + 1 + e 4 e 2 - 2 - ln ⁡ 1 + 2 1

Logo,

≅ 6,788651

Resposta

≅ 6,788651

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