Avalie a integral.

∫ 0 π / 4 sec 6 ⁡ θ tan 6 ⁡ θ   d θ  

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos resolver a integral e depois substituir os limites de integração. Para isso, vamos aplicar a regra da substituição.

Vamos dar uma olhada na nossa integral primeiro

∫ 0 π / 4 sec 6 ⁡ θ tan 6 ⁡ θ   d θ  

Vamos escolher para substituir essa tangente aí

u = tan ⁡ θ

E por que isso? Por que o diferencial desse u é perfeito pro nosso caso! Saca só

d u = tan ⁡ θ ' d θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ ' d θ = cos ⁡ θ cos ⁡ θ - - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ

d u = cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ = 1 cos 2 ⁡ θ d θ = sec 2 ⁡ θ d θ

E tem secante na nossa integral! \o/

Já que tamo aqui, vamo ver como os limites de integração vão ser alterados, beleza?

θ = 0 → u = tan ⁡ 0 = 0

θ = π 4 → u = tan ⁡ π 4 = 1

Show! Mas você pode ver que não é tããããoo simples assim substituir essas coisas que a gente achou na integral, né? Pra isso temos que fazer umas manipulaçõezinhas.

Vem comigo!

Passo 2

Lá no nosso diferencial tem um sec 2 ⁡ θ . Então já vamos deixar esse pedacinho separado

∫ 0 π / 4 sec 4 ⁡ θ tan 6 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Essa tangente é direta, né? A gente reescreve

tan 6 ⁡ θ = u 6

Agora temos que lidar com essa secante. Pra fazer isso vamos usar aquela identidade fundamental da trigonometria, lembra dela?

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Pra fazer aparecer uma secante aqui, vamos dividir toda essa equação por cos 2 ⁡ θ . Assim esse cos 2 ⁡ θ do lado esquerdo vira 1 e do lado direito aparece uma secante ao quadrado

sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 1 cos 2 ⁡ θ → tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

Olha só o que a gente conseguiu!! Relacionamos uma secante com uma tangente! :D

Substituindo tan ⁡ θ por u

sec 2 ⁡ θ = 1 + u 2

Show! Agora temos todos os ingredientes pra jogar na nossa integral!

Passo 3

A nossa integral fica assim

∫ 0 π / 4 sec 4 ⁡ θ tan 6 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 1 1 + u 2 2 u 6 d u

Agora ficou show de bola, né? Tamo na cara do gol! É só sair fazendo :D

∫ 0 1 1 + 2 u 2 + u 4 u 6 d u = ∫ 0 1 u 6 + 2 u 8 + u 10 d u

Integrando isso tudo

= u 7 7 + 2 u 9 9 + u 11 11 0 1 = 1 7 + 2 9 + 1 11 - 0

Finalmente (ufa!) o nosso resultado vai ser

1 7 + 2 9 + 1 11

Não vou fazer o MMC por que assim ficou até bonitinho hehehe

Resposta

1 7 + 2 9 + 1 11

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