Enunciado

Avalie a integral.

int_0^(pi // 4) sec^6 theta tan^6 theta d theta

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos resolver a integral e depois substituir os limites de integração. Para isso, vamos aplicar a regra da substituição.

Vamos dar uma olhada na nossa integral primeiro

int_0^(pi // 4) sec^6 theta tan^6 theta d theta

Vamos escolher para substituir essa tangente aí

u = tan theta

E por que isso? Por que o diferencial desse u é perfeito pro nosso caso! Saca só

d u = (tan theta)^' d theta = ((sen theta)/(cos theta))^' d theta = (cos theta cos theta - (- sen theta) sen theta)/(cos^2 theta) d theta

d u = ((cos^2 theta + sen^2 theta))/(cos^2 theta) d theta = (1)/(cos^2 theta) d theta = sec^2 theta d theta

E tem secante na nossa integral! \o/

Já que tamo aqui, vamo ver como os limites de integração vão ser alterados, beleza?

theta = 0 -> u = tan 0 = 0

theta = (pi)/(4) -> u = tan (pi)/(4) = 1

Show! Mas você pode ver que não é tããããoo simples assim substituir essas coisas que a gente achou na integral, né? Pra isso temos que fazer umas manipulaçõezinhas.

Vem comigo!

Passo 2

Lá no nosso diferencial tem um sec^2 theta . Então já vamos deixar esse pedacinho separado

int_0^(pi // 4) sec^4 theta tan^6 theta (sec^2 theta d theta)

Essa tangente é direta, né? A gente reescreve

tan^6 theta = u^6

Agora temos que lidar com essa secante. Pra fazer isso vamos usar aquela identidade fundamental da trigonometria, lembra dela?

sen^2 theta + cos^2 theta = 1

Pra fazer aparecer uma secante aqui, vamos dividir toda essa equação por cos^2 theta . Assim esse cos^2 theta do lado esquerdo vira 1 e do lado direito aparece uma secante ao quadrado

(sen^2 theta)/(cos^2 theta) + (cos^2 theta)/(cos^2 theta) = (1)/(cos^2 theta) -> tan^2 theta + 1 = sec^2 theta

Olha só o que a gente conseguiu!! Relacionamos uma secante com uma tangente! :D

Substituindo tan theta por u

sec^2 theta = 1 + u^2

Show! Agora temos todos os ingredientes pra jogar na nossa integral!

Passo 3

A nossa integral fica assim

int_0^(pi // 4) sec^4 theta tan^6 theta (sec^2 theta d theta) = int_0^1 (1 + u^2)^2 u^6 d u

Agora ficou show de bola, né? Tamo na cara do gol! É só sair fazendo :D

int_0^1 (1 + 2 u^2 + u^4) u^6 d u = int_0^1 (u^6 + 2 u^8 + u^(10)) d u

Integrando isso tudo

= ((u^7)/(7) + (2 u^9)/(9) + (u^(11))/(11))_0^1 = ((1)/(7) + (2)/(9) + (1)/(11)) - 0

Finalmente (ufa!) o nosso resultado vai ser

(1)/(7) + (2)/(9) + (1)/(11)

Não vou fazer o MMC por que assim ficou até bonitinho hehehe

Resposta

(1)/(7) + (2)/(9) + (1)/(11)

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Calcule a integral ∫ 0 π cos 4 ⁡ ( 2 t ) d t
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Calcula a integral int t g^2 x sec^3 x d x
Calcula a integral ∫ 0 π 2 s e n 2 1 3 θ d θ
Calcula a integral int_()^() t g^4 x sec^6 x d x