Enunciado

Os fósseis de dinossauros em geral são datados usando outro elemento em vez do carbono, como o potássio-40, que tem uma meia-vida maior (neste caso, aproximadamente 1,25 bilhão de anos). Suponha que a quantidade mínima detectável é de 0,1% e um dinossauro é datado de 40K para ter 68 milhões de anos. É um encontro possível? Em outras palavras, qual é a idade máxima de um fóssil que poderíamos encontrar usando 40K?

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos um método para datar objetos antigos... a partir da análise de potássio-40.

A partir desse método, queremos descobrir qual é a idade máxima que um fóssil pode ser datado se a quantidade mínima detectável é de 0,1 % .

Parece complicado?

Para resolver esse problema vamos utilizar a mesma equação do exercício 12, ou seja

m t m 0 = e k t

Onde m t é a quantidade de potássio em um tempo t (em anos), m 0 é a quantidade inicial e k é uma constante.

Foi dito que o tempo de meia vida do potássio-40 é de 1,25   b i l h õ e s de anos... a partir dessa informação podemos obter o valor de k e posteriormente, substituindo o valor da porcentagem mínima, podemos obter a idade máxima que esse método consegue datar.

Bora lá!

Passo 2

Como o tempo de meia vida do potássio-40 é de t = 1,25 · 10 9 anos, então

m 1,25 · 10 9 = m 0 2

Substituindo essa relação na equação do passo 1, temos

m 0 2 m 0 = e 1,25 · 10 9 k

1 2 = e 1,25 · 10 9 k

Vamos isolar k aplicando propriedades logarítmicas como ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b e ln ⁡ e a = a .

Aplicando l n nos dois lados, vamos obter

ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ e 1,25 · 10 9 k

ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2 = 1,25 · 10 9 k

Isolando k e sabendo que ln ⁡ 1 = 0

k = - ln ⁡ 2 1,25 · 10 9

Portanto, a equação que descreve a concentração de potássio-40, é dada por

m t m 0 = e - ln ⁡ 2 1,25 · 10 9 t

Reaplicando as propriedades logarítmicas, podemos chegar ainda em

m t m 0 = 1 2 t 1,25 · 10 9

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora, se a concentração máxima que pode ser analisada é de 0,1 % , então m t m 0 = 0,001 .

Vamos obter o valor de t que corresponde a esse resultado...

m t m 0 = 1 2 t 1,25 · 10 9 = 0,001

2 t 1,25 · 10 9 = 1000

Aplicando l n nos dois lados novamente

ln ⁡ 2 t 1,25 · 10 9 = ln ⁡ 1000

Aqui aplicamos uma propriedade logarítmica dada por ln ⁡ a b = b ln ⁡ a , ou seja

t 1,25 · 10 9 ln ⁡ 2 = ln ⁡ 1000

Isolando t

t = 1,25 · 10 9 ln ⁡ 1000 ln ⁡ 2

t = 12,46 · 10 9   a n o s

Portanto, é sim possivel datar um fóssil de 68 milhões de anos!

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

t = 12,46 · 10 9   a n o s

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