Enunciado

Use um sistema de computação algébrica para fazer o gráfico de f e encontrar   f e f ' ' . Utilize os gráficos dessas derivadas para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão de f .

f x = x 2 - 1 e arctg ⁡ x

Passo 1

Primeiro a gente usa um sistema de computação algébrico para calcular as derivadas, e a gente obtém os seguintes resultados:

f ' x = - e arctg ⁡ x 2 x 2 + 1 - 2 x - 1

f ' ' x = e arctg ⁡ x 2 x 3 + x 2 + 6 x - 1 x 2 + 1 2 + 2

Passo 2

Esboçando os gráficos de f , f ' e f ' ' :

Passo 3

Agora a gente finaliza analisando os gráficos!

Pelos gráficos de f e f ' , nós concluímos que a função está decrescendo em ( - ∞ ,   0.38 ) (não esquece que a gente analisa o decrescimento no gráfico de f ' olhando onde ela é menor que zero), e crescendo em ( 0.38 ,   ∞ ) .

Há um mínimo local em 0.38 , que a gente consegue encontrar tanto pela figura tanto pensando na derivada, ela decresce depois começa a crescer, formando aquele vale \/, então, o valor assumido é f 0.38 = - 1.23 .

Analisando agora o gráfico de f ' ' , concluímos que a função é côncava para cima em ( - ∞ , - 1 ) , côncava para baixo em ( - 1 ,   - 0.20 ) , e côncava para cima novamente em ( - 0.20 ,   ∞ ) .

Agora pra analisar os pontos de inflexão, pegamos os pontos onde f ' ' cruza o eixo x e substituímos em f x para encontrar a coordenada y , portanto, há pontos em ( - 1,0 ) e ( - 0.20 ,   - 0.79 ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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