Enunciado

Esboce o gráfico de uma função g   para a qual

g 0 = g 2 = g 4 = 0 ,     g ' 1 = g ' 3 = 0 ,       g ' 0 = g ' 4 = 1 ,     g ' 2 = - 1 ,    

lim x → ∞ ⁡ g ( x ) = ∞       lim x → - ∞ ⁡ g x = - ∞

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! Temos aqui um quebra cabeças. Devemos esboçar um gráfico pra g ( x ) sabendo que:

g 0 = g 2 = g 4 = 0 ,

g ' 1 = g ' 3 = 0 ,       g ' 0 = g ' 4 = 1 ,   g ' 2 = - 1 ,    

lim x → ∞ ⁡ g x = ∞   , lim x → - ∞ ⁡ g x = - ∞

Vamos dividir esse problema em três partes, os pontos definidos, as derivadas e os limites!

  • Na primeira parte a gente só precisa montar os pontos nos gráficos;
  • Depois a gente vai pras derivadas, lembrando que g ' a é a inclinação da reta tangente da curva g x no ponto a . Pra descobrir a equação das retas tangentes vamos usar a seguinte fórmula geral:
  • y - f a = f ' ( a ) ( x - a )

    Então a gente vai desenhar as retas tangentes pra começar a criar a “silhueta” do gráfico!

  • Os limites eles são do infinito pro infinito, então eles vão servir pra a gente saber da onde a curva tá indo e pra onde ela vai.

Passo 2

Primeiro vamos focar nos pontos definidos

g 0 = g 2 = g 4 = 0

Vamos então marcar os pontos de g ( x ) :

0,0 ,   2,0 ,   ( 4,0 )

Passo 3

Temos que que g ' a é a inclinação da reta tangente em x = a , o enunciado nos dá as seguintes derivadas:

g ' 1 = g ' 3 = 0  

g ' 0 = g ' 4 = 1

g ' 2 = - 1

Podemos tirar daí as equações das retas tangentes, sabendo que a equação de uma reta qualquer pode ser dada por:

y - f a = f ' ( a ) ( x - a )

Conhecemos g ( 0 ) , g ( 4 ) , g ( 2 ), g ' ( 0 ) , g ' ( 4 ) , g ' ( 2 ) então podemos substituir pro nosso caso:

y - g 0 = g ' 0 x - 0

Lembrando que g 0 = 0 :

y = x

Agora vamos pra g ' 4 lembrando que g 4 = 0 :

y - g 4 = g ' 4 x - 4

y = x - 4

Finalmente temos g ' 2 e g 2 também é igual a zero:

y - g 2 = g ' 2 x - 2

y = - x + 2

Agora a gente vai desenhar essas retas no gráfico porque elas vão nos ajudar chegar no formato final!

A gente pode perceber que quando a reta tangente tem uma inclinação positiva ela é crescente, portanto g ( x ) é crescente nesse ponto, se a inclinação é negativa g ( x ) será decrescente.

Então analisando o gráfico já podemos deduzir que no ponto A = ( 0,0 ) a nossa curva vai passar crescendo e em B = ( 2,0 ) ela vai passar decrescendo, então podemos esperar uma concavidade pra baixo em D , onde ocorre a intersecção entre as duas retas tangentes.

Seguindo com o mesmo raciocínio podemos esperar uma concavidade voltada pra cima em E .

Passo 4

Agora vamos analisar os limites:

lim x → ∞ ⁡ g ( x ) = ∞       lim x → - ∞ ⁡ g x = - ∞

Temos que a função quando x tende a menos infinito ela decrescerá, e quando x tende a mais infinito ela crescerá. Juntando isso com as reflexões que a gente fez no passo anterior podemos desenhar o seguinte gráfico:

Prontinho!

Resposta

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Determine as equações para ( a ) a tangente à curva em P e ( b ) a tangente horizontal à curva em Q .
Nos Exercícios 35-38, represente graficamente as curvas nos intervalos dados e suas respectivas tangentes para os valores dados de x . Identifique cada curva e tangente com a sua equação respectiva.35
Nos Exercícios 35-38, represente graficamente as curvas nos intervalos dados e suas respectivas tangentes para os valores dados de x . Identifique cada curva e tangente com a sua equação respectiva.37
Nos Exercícios 35-38, represente graficamente as curvas nos intervalos dados e suas respectivas tangentes para os valores dados de x . Identifique cada curva e tangente com a sua equação respectiva.38
39. Em que ponto da curva x +x y + y = 1 a reta tangente é paralela ao eixo x ?