Enunciado

A tabela dá a população da Índia, em milhões, para a segunda metade do século X X .

(a) Use o modelo exponencial e os valores do censo para 1951 e 1961 para prever a população em 2001 . Compare com o valor da tabela.

(b) Use o modelo exponencial e os valores do censo para 1961 e 1981 para prever a população em 2001 . Compare com o valor da tabela. A seguir, use este modelo para prever a população nos anos de 2010 e 2020

(c) Trace ambas as funções exponenciais nas partes (a) e (b) com um gráfico da população real. Estes modelos são razoáveis?

Passo 1

(a) Nesse enunciado temos um problema com taxa de crescimento relativa, que é a taxa de crescimento dividida pela população. Se chamarmos P ( t ) a população mundial em função do tempo ( t ) em anos e tendo k como a taxa de crescimento relativa temos:

k = P ' t P t

Ou também pode ser escrita como:

d P d t = k P

Toda vez que nos deparamos com uma função do tipo d y d t = k y devemos saber que as únicas soluções desse tipo de equação diferencial são as exponenciais do tipo:

y t = y 0 e k t

Passo 2

Agora precisamos identificar as variáveis do problema. Sabemos que y t = P t e que o valor de k é desconhecido.

Sabemos que em 1951 , tomando este como o ano inicial, a população, em milhões, era de 361 , logo, P 1951   = 361 (milhões) e após 1961 - 1951   = 10 anos (que é o nosso t ) a população é de 439 (milhões) então P 1961 = 439 (milhões). Aplicando esses valores na equação exponencial obtemos o seguinte:

P 1961 = 439   = P 1951   e k * 10

361   * e k * 10 = 439  

e k * 10 = 439   361  

e 10 k = 439   361  

Aplicando o logaritmo natural temos:

ln ⁡ e 10 k = ln ⁡ 439   361  

10 k ln ⁡ e = ln ⁡ 439   361    

Como ln ⁡ e = 1 :

10 k = ln ⁡ 439   361  

k = ln ⁡ 439   361   10  

Logo, taxa de crescimento relativa corresponde a ln ⁡ 439   361   10   .

Tendo o valor de k é só aplicar à equação exponencial para encontrar o P 2001 , lembrando que t = 2001 - 1951 = 50 anos:

P 2001 = P 1951 * e   ln ⁡ 439   361   10 * 50

P 2001 = 351 * e   5 * ln ⁡ 439   361  

P 2001 = 933,4556917 (Milhões)

Podemos ver que esses valores divergem dos valores reais;

Passo 3

(b) Neste item é usada a mesma ideia do item (a),só que agora usaremos o valor de início como P 1961 = 439 (milhões) e para calcular o k utilizaremos o P 1981 = 683 (milhões) com o tempo t = 1981 - 1961 = 20 anos:

P 1981 = 683   = P 1961 e k * 20

439   * e k * 20 = 683  

e k * 20 = 683   439  

e 20 k = 683   439  

ln ⁡ e 20 k = ln ⁡ 683   439  

20 k ln ⁡ e = ln ⁡ 683   439    

20 k = ln ⁡ 683   439  

k = ln ⁡ 683   439   20  

Para P 2001 com t = 2001 - 1961 = 40 :

P 2001 = P 1961 * e   ln ⁡ 683   439   20 * 40

P 2001 = 439   * e   2 * ln ⁡ 683   439  

P 2001 = 1062,617312 (milhões)

Que é um valor bem mais próximo do real que o obtido anterior.

Agora, para 2010 :

P 2010 = P 1961 * e   ln ⁡ 683   439   20 * 49

P 2010 = 439   * e 49 20 * ln ⁡ 683   439  

P 2010 = 1296,454172 (milhões)

Para 2020 :

P 202 0 = P 1961 * e   ln ⁡ 683   439   20 * 5 9

P 202 0 = 439   * e 5 9 20 * ln ⁡ 683   439  

P 202 0 = 1617,093984   (milhões)

Passo 4

(c) Temos as as seguintes funções:

(A) P t = 351 * e   ln ⁡ 439   361   10 * t - 1951 = 351 * 439   361   t - 1951 10

(B) P t = 439   * e   ln ⁡ 683   439   2 0 * t - 196 1 = 439 * 683   439   t - 196 1 2 0

Plotando os dados temos o seguinte gráfico:

Como podemos ver, os dados reais estão bem alinhados com à curva verddde, ou seja, à função P t = 351 * e   ln ⁡ 439   361   10 * t - 1951 = 351 * 439   361   t - 1951 10 , isso aponta que é uma boa maneira de estimar a população da Índia em determinado ano.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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