Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.8 - Ex. 6
A tabela dá a população da Índia, em milhões, para a segunda metade do século .
(a) Use o modelo exponencial e os valores do censo para e para prever a população em . Compare com o valor da tabela.
(b) Use o modelo exponencial e os valores do censo para e para prever a população em . Compare com o valor da tabela. A seguir, use este modelo para prever a população nos anos de 2010 e 2020
(c) Trace ambas as funções exponenciais nas partes (a) e (b) com um gráfico da população real. Estes modelos são razoáveis?
Passo 1
(a) Nesse enunciado temos um problema com taxa de crescimento relativa, que é a taxa de crescimento dividida pela população. Se chamarmos a população mundial em função do tempo () em anos e tendo como a taxa de crescimento relativa temos:
Ou também pode ser escrita como:
Toda vez que nos deparamos com uma função do tipo devemos saber que as únicas soluções desse tipo de equação diferencial são as exponenciais do tipo:
Passo 2
Agora precisamos identificar as variáveis do problema. Sabemos que e que o valor de é desconhecido.
Sabemos que em , tomando este como o ano inicial, a população, em milhões, era de , logo, (milhões) e após anos (que é o nosso ) a população é de (milhões) então (milhões). Aplicando esses valores na equação exponencial obtemos o seguinte:
Aplicando o logaritmo natural temos:
Como :
Logo, taxa de crescimento relativa corresponde a .
Tendo o valor de é só aplicar à equação exponencial para encontrar o , lembrando que anos:
(Milhões)
Podemos ver que esses valores divergem dos valores reais;
Passo 3
(b) Neste item é usada a mesma ideia do item (a),só que agora usaremos o valor de início como (milhões) e para calcular o utilizaremos o (milhões) com o tempo anos:
Para com :
(milhões)
Que é um valor bem mais próximo do real que o obtido anterior.
Agora, para :
(milhões)
Para
(milhões)
Passo 4
(c) Temos as as seguintes funções:
(A)
(B)
Plotando os dados temos o seguinte gráfico:
Como podemos ver, os dados reais estão bem alinhados com à curva verddde, ou seja, à função , isso aponta que é uma boa maneira de estimar a população da Índia em determinado ano.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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