Enunciado

  1. A curva com equação
  2. 2 y 3 + y 2 - y 5 = x 4 - 2 x 3 + x 2

    tem sido comparada com um “vagão sacolejante”. Use um SCA para fazer essa curva e descubra o porquê desse nome.

  3. Em quantos pontos essa curva tem retas tangentes horizontais? Encontre as coordenadas x desses pontos.

Passo 1

  1. Temos o gráfico a seguir, que realmente parece com o tal vagão:
  2. Passo 2

  3. Para achar as retas tangentes, a gente deriva a função:

d d y 2 y 3 + y 2 - y 5 = d d x x 4 - 2 x 3 + x 2 →

6 y 2 y ' + 2 y   y ' - 5 y 4 y ' = 4 x 3 - 6 x 2 + 2 x →

y ' = 2 x 2 x 2 - 3 x + 1 6 y 2 + 2 y - 5 y 4 = 2 x 2 x - 1 x - 1 y 6 y + 2 - 5 y 3

Pelo gráfico, e pelos valor pelos quais y ' = 0 , nós especulamos que há 9 pontos com tangentes horizontais: 3 em x = 0 , 3 em x = 1 2 , e 3 em x = 1 . Há três tangentes horizontais através do topo do vagão que são difíceis de encontrar, mas limitando o intervalo no gráfico (para [ 1.6 ,   1.7 ] , por exemplo, eles são distinguíveis.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + 2 x y - y 2 + x = 2 , ( 1,2 ) (hipérbole)
Mostre, fazendo a derivação implícita, que a tangente à elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 No ponto ( x 0 ,   y 0 ) é x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1
Mostre que a soma das coordenadas das intersecções com os eixos x e y de qualquer reta tangente à curva x + y = c é igual a c .
Encontre uma equação da reta tangente à hipérbole x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 No ponto ( x 0 ,y 0 ) .
Mostre, usando a derivação implícita, que qualquer reta tangente, em um ponto P , a um círculo com centro O é perpendicular ao raio O P .