Enunciado

Encontre o polinômio de Taylor T 3 ( x ) da função f em a . Trace f e T 3 na mesma tela.

f x = arc sen ⁡ x ,                     a = 0

Passo 1

Neste caso, consegue ver que as derivadas vão ficar um pouco complicadas com o aumento de n ? Então não vamos buscar um padrão para a série, vamos só calcular os termos com n = { 0,1 , 2,3 } , que vai nos dar o T 3 direto.

Então derivando e substituindo x = 0 que é o nosso centro

f = arcsen ⁡ x ⇒ f 0 = 0

f ' = 1 1 - x 2 ⇒ f ' 0 = 1

f ' ' = - 1 2 ⋅ ( - 2 x ) 1 - x 2 3 / 2 = x 1 - x 2 3 / 2 ⇒ f ' ' 0 = 0

f ' ' ' = 1 1 - x 2 3 / 2 + x - 3 2 ⋅ - 2 x 1 - x 2 5 / 2

= 1 1 - x 2 3 / 2 + 3 x 2 1 - x 2 5 / 2 ⇒ f ' ' ' 0 = 1

Passo 2

Como temos as derivadas no centro x = 0 das três primeiras derivadas, respeitando a fórmula da série de Taylor

∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! x - a n

Para calcularmos T 3 precisamos apenas do grau 3 e inferiores, então temos que

T 3 = 0 + x + 0 x 2 + x 3 3 !

T 3 = x + x 3 3 !

Passo 3

Traçando a função e T 3 no plano

De vermelho temos a função f e em cinza T 3 .

Resposta

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