Enunciado

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = x 3 y   i - x 2 y 2   j - x 2 y z   k

S   é a superfície do sólido delimitado pelo hiperboloide x 2 + y 2 - z 2 = 1 e pelos planos z = - 2 e z = 2

Passo 1

O Teorema do Divergente nos diz o seguinte:

∬ s F ⋅ d S = ∭ E D i v F d V

Como queremos achar o ∬ s F ⋅ d S a ideia var ser achar o D i v ( F ) e calcular a integral tripla, beleza?

Passo 2

F → x , y , z = x 3 y   i - x 2 y 2   j - x 2 y z   k

Como D i v ( F ) é:

D i v ( F ) = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

Então temos o seguinte:

D i v F = ∂ ∂ x x 3 y + ∂ ∂ y - x 2 y 2 + ∂ ∂ z - x 2 y z

Calculando os diferenciais:

D i v F = 3 x 2 y - 2 x 2 y - x 2 y

Fazendo as contas:

D i v F = 3 x 2 y - 3 x 2 y = 0

Passo 3

Agora é só usar o teorema do Passo 1

∬ s F ⋅ d S = ∭ E D i v F d V

Como D i v F = 0 :

∬ s F ⋅ d S = 0

Resposta

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