Enunciado

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = x 4 i → - x 3 z 2 j → + 4 x y 2 z k → , S   é a superfície do sólido limitado pelo cilindro 1 = x 2 + y 2 e pelos planos z = x + 2   e   z = 0

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos calcular o divergente do campo F → :

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x x 4 + ∂ ∂ y - x 3 z 2 + ∂ ∂ z 4 x y 2 z = 4 x 3 + 4 x y 2

Passo 2

A região de integração é um cilindro entre dois planos. Em coordenadas cilíndricas temos x = r c o s θ ; y = r s e n θ   e   z = z . No plano x y temos um círculo de raio 1 .

A região vai ser:

x 2 + y 2 = 1 z = x + 2 z = 0

Assim os limites das variáveis são:

0 ≤ z ≤ r c o s θ 0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2 π

E o diferencial de volume vai ser d V = r d z d r d θ

O divergente do campo na nova parametrização é ∇ ⋅ F → = 4 r 3 cos 3 ⁡ θ + 4 r 3 c o s θ s e n 2 θ

Agora é só colocar na integral!

Passo 3

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 r c o s θ ( 4 r 4 cos 3 ⁡ θ + 4 r 4 c o s θ s e n 2 θ ) d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 r 4 cos 3 ⁡ θ ( r c o s θ + 2 ) + 4 r 4 c o s θ s e n 2 θ ( r c o s θ + 2 ) d r d θ  

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( 4 r 5 cos 4 ⁡ θ + 8 r 4 cos 3 ⁡ θ + 4 r 5 cos 2 ⁡ θ s e n 2 θ + 8 r 4 c o s θ s e n 2 θ ) d r d θ

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 2 3 ∫ 0 2 π cos 4 ⁡ θ d θ + 8 5 ∫ 0 2 π cos 3 ⁡ θ d θ + 2 3 ∫ 0 2 π s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ d θ + 8 5 ∫ 0 2 π c o s θ s e n 2 θ   d θ

∭ E ∇ ⋅ F → d V = π 2 + 0 + π 6 + 0 = 4 π 6 = 2 π 3

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 2 π 3

Resposta

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 2 π 3

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