Enunciado

Use o teorema 10 para encontrar a curvatura.

vec r (t) = sqrt(6) t ² hat i + 2 t hat j + 2 t ³ hat k

Passo 1

O teorema nos diz que a curvatura de uma curva é dada por:

k (t) = (| vec r^' (t) xx vec r^(' ') (t) |)/(|vec r^' (t)|^3)

Desta forma precisamos encontrar quem é vec r^' (t) e vec r^(' ') (t) , que são a primeira e a segunda derivada de vec r (t) . Mas como vec r (t) é uma função vetorial a derivada da função corresponde a derivada de cada componente i , j e k .

Passo 2

Calculando a primeira derivada:

vec r^' (t) = 2 sqrt(6) t hat i + 2 hat j + 6 t ² hat k

Calculando a segunda derivada:

vec r^(' ' (t)) = 2 sqrt(6) hat i + 12 t hat k

Passo 3

Calculando k ( t ) :

k (t) = (| vec r^' (t) xx vec r^(' ') (t) |)/(|vec r^' (t)|^3) = (| 〈2 sqrt(6 ) t , 2 , 6 t ²〉 xx 〈2 sqrt(6) , 0 , 12 t〉 |)/(|〈2 sqrt(6 ) t , 2,6 t ²〉|^3)

O produto vetorial pode ser calculado a partir do determinante da matriz:

〈2 sqrt(6 ) t , 2,6 t ²〉 xx 〈2 sqrt(6) , 0,12 t〉 = [[[hat i,hat j,hat k],[2,sqrt(6),t,2,6,t,²],[2,sqrt(6),0,12,t]]] = 〈24 t , - 12 sqrt(6) t^2 , - 4 sqrt(6)〉

O módulo de um vetor é:

|vec u| = sqrt(u_1^2 + u_2^2 + u_3^2)

Então:

|〈24 t , - 12 sqrt(6) t^2 , - 4 sqrt(6)〉| = sqrt(576 t^2 + 864 t^4 + 96)

|〈2 sqrt(6 ) t , 2,6 t ²〉| = sqrt(24 t + 4 + 36 t^4)

Desta forma k ( t ) é:

k (t) = (sqrt(576 t^2 + 864 t^4 + 96))/((24 t + 4 + 36 t^4)^(3 // 2))

Resposta

A curvatura é:

k (t) = (sqrt(576 t^2 + 864 t^4 + 96))/((24 t + 4 + 36 t^4)^(3 // 2))

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