Enunciado

Encontre a curvature para vec r (t) = 〈t^2 , ln t , t ln t〉 no ponto ( 1,0 , 0 ) .

Passo 1

A curvatura de uma função vetorial (curva) é dada por:

k (t) = (| vec r^' (t) xx vec r^(' ') (t) |)/(|vec r^' (t)|^3)

Desta forma precisamos encontrar quem é vec r^' (t) e vec r^(' ') (t) , que são a primeira e a segunda derivada de vec r (t) . Mas como vec r (t) é uma função vetorial a derivada da função corresponde a derivada de cada componente i , j e k .

Passo 2

Calculando a primeira derivada:

vec r^' (t) = 2 t + (1)/(t) hat j + ( ln t + 1 ) hat k

Calculando a segunda derivada:

vec r^(' ' (t)) = 2 hat i - (1)/(t^2) hat j + (1)/(t) hat k

Passo 3

Calculando k ( t ) :

k (t) = (| vec r^' (t) xx vec r^(' ') (t) |)/(|vec r^' (t)|^3) = (| 〈2 t , (1)/(t) , ln t + 1〉 xx 〈2 , - (1)/(t^2) , (1)/(t)〉 |)/(|〈2 t , (1)/(t) , ln t + 1〉|^3)

O produto vetorial pode ser calculado a partir do determinante da matriz:

〈2 t , (1)/(t) , ln t + 1〉 xx 〈2 , - (1)/(t^2) , (1)/(t)〉 = [[[hat i,hat j,hat k],[2,t,(1)/(t),ln t,+,1],[2,-,(1)/(t^2),(1)/(t)]]] = 〈(2)/(t^2) + (ln t)/(t^2) , 2 ln t , - (4)/(t)〉

O módulo de um vetor é:

|vec u| = sqrt(u_1^2 + u_2^2 + u_3^2)

Então:

|〈(2)/(t^2) + (ln t)/(t^2) , 2 ln t , - (2)/(t^2) - (2)/(t)〉| = sqrt(((2)/(t^2) + (ln t)/(t^2))^2 + (2 ln t)^2 + (- (2)/(t^2) - (2)/(t))^2)

|〈2 t , (1)/(t) , ln t + 1〉| = sqrt(4 t ² + (1)/(t^2) + (ln t + 1)^2)

Desta forma k ( t ) é:

k (t) = (sqrt(((2)/(t^2) + (ln t)/(t^2))^2 + (2 ln t)^2 + (- (2)/(t^2) - (2)/(t))^2))/((4 t ² + (1)/(t^2) + (ln t + 1)^2)^(3 // 2))

Passo 4

Mas queremos saber k ( t ) referente a ponto ( 1,0 , 0 ) . Esse ponto ocorre quando t = 1 , para verificarmos isso basta substiruir t = 1 em vec r (t) = 〈t^2 , ln t , t ln t〉 .

Portanto:

k (1) = (sqrt(((2)/(1^2) + (ln 1)/(1^2))^2 + (2 ln 1)^2 + (- (2)/(1^2) - (2)/(1))^2))/((4 * 1 ² + (1)/(1^2) + (ln 1 + 1)^2)^(3 // 2)) = (sqrt(20))/((sqrt(6))^3) = (2 sqrt(5))/(6 sqrt(6)) = (sqrt(30))/(18)

Resposta

A curvatura no ponto ( 1,0 , 0 ) é:

k (1) = (sqrt(30))/(18)

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