Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 8
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é a elipse .
Passo 1
O Teorema de Green fornece uma relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples e uma integral dupla sobre a região do plano delimitada por .Ao enunciarmos o Teorema de Green, usamos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples refere-se ao sentido antihorário de , percorrido só uma vez.
Se e têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha , então
A curva e região são exibidas abaixo.
Passo 2
Usando o Teorema de Green, podemos escrever:
A representação paramétrica para a fronteira da elipse é dada por:
Portanto, para os pontos interiores da elipse são da forma:
Passo 3
Como estamos mudando as variáveis da integral dupla, nós precisamos fazer uma simples multiplicação pelo famigerado Jacobiano. Seja o jacobiano. Assim,
Agora, substituindo os valores nas integrais, temos:
Vamos chamar a integral de . Como ela parece não tão simples de resolver, que tal darmos uma prioridade pra ela?
Lá da trigonomagia trigonometria, nós temos a famosa relação trigonométrica envolvendo senos e cossenos:
Substituindo na integral, temos
Uma substituição de variáveis aqui parece ajudar a nossa resolução, hein? Seja . Os limites de integração também sofrem uma mudança. Quando ; quando . Logo:
Como os limites de integração são iguais, a nossa integral é igual a zero!
Passo 4
Voltando na integral inicial, temos:
Resposta
A integral de linha é igual a: