Enunciado

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green.

∮ C . y 2 d x + x 2 y d y

C é o retângulo com os vértices em 0,0 , 5,0 , 5,4   e   ( 0,4 ) .

Passo 1

O Teorema de Green fornece uma relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região do plano D delimitada por C .Ao enunciarmos o Teorema de Green, usamos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples C refere-se ao sentido antihorário de C , percorrido só uma vez.

Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D , então

∬ P d x + Q d y = ∬ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

A curva C e região D são exibidas abaixo.

Passo 2

Usando o Teorema de Green, podemos escrever:

∮ y 2 d x + x 2 y d y = ∬ ∂ ∂ x x 2 y - ∂ ∂ y y 2 d A

∮ y 2 d x + x 2 y d y = ∫ 0 4 ∫ 0 5 2 x y - 2 y d x d y

∮ y 2 d x + x 2 y d y = ∫ 0 4 [ x 2 y - 2 x y ] 0 5 d y

∮ y 2 d x + x 2 y d y = ∫ 0 4 25 y - 10 y d y

∮ y 2 d x + x 2 y d y = ∫ 0 4 15 y d y = 15 y 2 2 0 4 = 15 × 4 2 2 = 120

Resposta

A integral de linha é igual a:

∮ C . y 2 d x + x 2 y d y = 120

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