Enunciado

Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

∫ C x 2 y 2 d x + 4 x y 3 d y

C é o triângulo com vértices ( 0,0 ) , ( 1,3 ) e ( 0,3 )

Passo 1

Como C é uma curva fechada, pelo Teorema de Green temos

∫ C x 2 y 2 d x + 4 x y 3 d y = ∬ D ∂ ∂ x 4 x y 3 - ∂ ∂ y x 2 y 2 d A

= ∬ D 4 y 3 - 2 x 2 y d A

Analisando a região D limitada por C , colocando os pontos no plano temos

O triangulo é limitado por x = 0 e y = 3 , basta achar a reta que vai de ( 0,0 ) até ( 1,3 ) que é y = 3 x , então

∬ D 4 y 3 - 2 x 2 y d A = ∫ 0 1 ∫ 3 x 3 4 y 3 - 2 x 2 y d y d x

= ∫ 0 1 y 4 - x 2 y 2 3 x 3 d x = ∫ 0 1 81 - 9 x 2 - 81 x 4 + 9 x 4 d x

= 9 ∫ 0 1 9 - x 2 - 8 x 4 d x = 9 9 x - x 3 3 - 8 x 5 5 0 1

= 9 9 - 1 3 - 8 5 = 9 135 - 5 - 24 15

= 3 106 5 = 318 5

Resposta

= 318 5

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