Enunciado

Use o Teorema de Green na forma da equação 13 para demonstrar a primeira identidade de Green:

∬ f ∇ 2 g   d A = ∮ f ∇ g ⋅ n →   d s - ∬ ∇ f ⋅ ∇ g d A

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pela equação 13 temos:

∮ C F → ⋅ n → d S = ∬ D ∇ ⋅ F → d A

Admitindo que o campo vetorial é F → = f ∇ g temos:

∮ C ( f ∇ g   ) ⋅ n → d S = ∬ D ∇ ⋅ ( f ∇ g   ) d A

Passo 2

Pela identidade calculada no exercício 25 :

∇ ⋅ f F → = f ∇ ⋅ F → + F → ⋅ ∇ f

No nosso caso temos que fazer a correspondência entre as funções: f = f e F → = ∇ g . Assim a identidade fica:

∇ ⋅ f ∇ g = f ∇ ⋅ ∇ g + ∇ g ⋅ ∇ f

E podemos substituir ali em cima na equação do passo 1 .

Passo 3

Do passo 1 temos:

∮ C f ∇ g   ⋅ n → d S = ∬ D ∇ ⋅ f ∇ g   d A

E usando a identidade que calculamos no passo 2 :

∮ C f ∇ g   ⋅ n → d S = ∬ D ( f ∇ ⋅ ∇ g + ∇ g ⋅ ∇ f ) d A

Mas sabemos que ∇ ⋅ ∇ g = ∇ 2 g , daí temos:

∮ C f ∇ g   ⋅ n → d S = ∬ D ( f ∇ 2 g + ∇ g ⋅ ∇ f ) d A

Passo 4

Agora podemos isolar no lado esquerdo o que queremos:

∬ f ∇ 2 g   d A = ∮ f ∇ g ⋅ n →   d s - ∬ ∇ f ⋅ ∇ g d A

Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D

Resposta

∬ f ∇ 2 g   d A = ∮ f ∇ g ⋅ n →   d s - ∬ ∇ f ⋅ ∇ g d A

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