Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 33
Use o Teorema de Green na forma da equação para demonstrar a primeira identidade de Green:
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pela equação temos:
Admitindo que o campo vetorial é temos:
Passo 2
Pela identidade calculada no exercício :
No nosso caso temos que fazer a correspondência entre as funções: e . Assim a identidade fica:
E podemos substituir ali em cima na equação do passo .
Passo 3
Do passo temos:
E usando a identidade que calculamos no passo :
Mas sabemos que , daí temos:
Passo 4
Agora podemos isolar no lado esquerdo o que queremos:
Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D
Resposta
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10) Sejam V (x, y) = x2 + y2 e (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) , com P e Q contínuas em ℝ2, tais que, para todo ( x ,y )≠0 ,0 , ∇Vx ,y ⋅ F x , y0 . Seja γ t = x t ,y t ≠ 0,0 ,t ≥ 0 talque γ ' t = F γ t d
5) Seja F=∇φ , onde φ( x ,y )=y-x 2 . Desenhe F(x, y) com (x, y)na parábola y=x 2
6 ) Seja F =∇f , onde f( x ,yz )=x 2+y 2+z 2 . Desenhe F(x, y, z),com x 2+y 2+z 2=1 ,x0 ,y0ez0 .
10) Sejam V (x, y) = x2 + y2 e (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) , com P e Q contínuas em ℝ2, tais que, para todo ( x ,y )≠0 ,0 , ∇Vx ,y ⋅ F x , y0 . Seja γ t = x t ,y t ≠ 0,0 ,t ≥ 0 talque γ ' t = F γ t P
4 ) Seja F=∇f , onde f (x, y) = x + 2y. Desenhe F(x, y), com (x, y)na reta x + 2y = 1.