Enunciado

Use o Teorema de Pappus e o fato de que a área de uma elipse com semieixos a e b é π a b para calcular o volume do toro elíptico gerado pela revolução da elipse

x - k 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

em torno do eixo y . Suponha que k   >   a .

Passo 1

O Teorema de Pappus diz que, para um sólido de revolução gerado pela rotação de uma região R :

v o l u m e = á r e a   d e   R . ( d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e )

Queremos achar esse volume do toro sabendo que área de uma elipse é:

A = π a b

E a equação da elipse é:

x - k 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Vamos refletir como a gente faz isso. Vem comigo!

Passo 2

Temos uma elipse que vai ser girada em torno do eixo y . Para calcular o volume do sólido que vai surgir, pelo Teorema, precisamos entender como calcular a distância percorrida pelo centroide nessa rotação.

Agora pensa comigo: a trajetória do centroide é uma circunferência. E o raio dela é igual à distância do centroide até o eixo de rotação, no nosso caso o eixo y .

Olha a equação da elipse:

x - k 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

A gente sabe que, por causa da simetria, o centroide coincide com o centro, que nesse caso está em ( k , 0 ) . Então, a distância do centro até o eixo de rotação, o eixo y , é k . Por isso o raio da trajetória vai ser k .

Passo 3

A distância percorrida pelo centroide é o comprimento da trajetória, que é uma circunferência. Logo, é só a gente calcular o comprimento da circunferência de raio k :

d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e = 2 π k

Passo 4

Precisamos da área da região. A área de R é a área de uma elipse de semieixos a e b , então:

A R = π a b

Passo 5

Com tudo calculado, podemos usar:

v o l u m e = á r e a   d e   R . ( d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e )

Substituindo tudo que a gente tem na fórmula do teorema:

v o l u m e = π a b ⋅ 2 π k = 2 a b π 2 k

Arrasamos!

Resposta

v o l u m e = 2 a b k π 2

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