Enunciado

As superfícies planas mostradas estão imersas verticalmente em água. Encontre a força do fluido sobre cada superfície.

Passo 1

Como temos uma placa submersa na vertical, podemos usar essa relação:

F = ∫ a b ρ h x w ( x ) d x

Onde ρ é o peso específico da água. Precisamos usar o que está na nossa tabelinha e está nas mesmas unidades do enunciado:

ρ = 9810   N / m 3

E w ( x ) é a largura da placa e h ( x ) a profundidade de cada ponto x . (sendo a e b os limites da placa nessa profundidade).

E sendo o eixo x , um eixo vertical para baixo, com a origem ( x = 0 ) na superfície do líquido.

Vamos começar!

Passo 2

Para achar w ( x ) , vamos ter que usar nossa esperteza. Olha essa figura:

Podemos usar semelhança de triângulos e escrever que:

w x 6 = b 8

Onde b = 10 - x :

w x = 6 10 - x 8 = 3 4 10 - x

Passo 3

Já a profundidade, vemos que é medida diretamente pelo valor de x . Então, podemos escrever:

h x = x

E a placa começa em a = x = 2 e termina em b = x = 10 .

Com tudo isso, nossa integral fica assim:

F = ∫ 2 10 9810 ⋅ x ⋅ 3 4 10 - x d x

Passo 4

Agora é só calcular a integral:

F = 14715 2 ∫ 2 10   10 x - x 2 d x = 14715 2 5 ⋅ 10 2 - 10 3 3 - 5 ⋅ 2 2 + 2 3 3

F = 1   098   720   N

Resposta

F = 1   098   720   N

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Verificar se o resultado das seguintes integrais é postivo, negativo ou zero, sem calculá-las. ∫ - 1 3 ( x 2 - 2 x - 3 ) d x
∫ 0 2 √ 2 x ( x + √ 5 )d x
∫ π / 4 3 π 4 s e n x c o s x d x
∫ 0 π 2 c o s x 1 + s e n x 5 d x
∫ 1 2 5 x 3 + 7 x 2 - 5 x + 2 x 2d x