Enunciado

Use o Teorema de Pappus e o resultado do Exercício 39 para calcular o volume do sólido gerado quando a região limitada pelo eixo x e o semicírculo gira em torno da

(a) reta y   =   -   a

Passo 1

O Teorema de Pappus diz que, para um sólido de revolução gerado pela rotação de uma região R :

v o l u m e = á r e a   d e   R . ( d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e )

Queremos achar esse volume sabendo que o centroide desse semicírculo está em:

x - ,   y - = 0 , 4 a 3 π

Vamos refletir como a gente faz isso. Vem comigo!

Passo 2

Temos o semicírculo que vai ser girado em torno dessa reta em verde. Para calcular o volume do sólido que vai surgir, pelo Teorema, precisamos entender como calcular a distância percorrida pelo centroide nessa rotação.

Agora pensa comigo: a trajetória do centroide é uma circunferência. E o raio dela é igual à distância do centroide até o eixo de rotação, no nosso caso a reta y = - a .

Então, podemos dizer que nossa trajetória vai ter um raio de:

R = y - + a

E a distância percorrida pelo centroide é o comprimento da trajetória, que é uma circunferência. Logo, é só a gente calcular o comprimento da circunferência:

d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e = 2 π ( y - + a )

Passo 3

Precisamos da área da região. A área de R é a área de um semicírculo, então:

A R = π a 2 2

Passo 4

Com tudo calculado, podemos usar:

v o l u m e = á r e a   d e   R . ( d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e )

Substituindo tudo que a gente tem na fórmula do teorema:

v o l u m e = π a 2 2 ⋅ 2 π y - + a

Mas lembra que a gente sabe que:

x - ,   y - = 0 , 4 a 3 π

Aí nossa continha fica:

v o l u m e = π a 2 2 ⋅ 2 π 4 a 3 π + a = π a 3 3 a + 3 π

Arrasamos!

Resposta

v o l u m e = π a 3 3 a + 3 π

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