Avalie a integral.

∫ 0 1 4 1 + p 2 d p

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ 4 1 + p 2 d p = 4 ∫ 1 1 + p 2 d p

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando a expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x 2 + 1 d x = arctan ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

4 ∫ 1 1 + p 2 d p = 4 arctan ⁡ p + C

Passo 2

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 0 1 4 1 + p 2 d p = 4 arctan ⁡ p 1 2 = 4 arctan ⁡ 2 - arctan ⁡ 1 =

= 4 π 4 - 0 = π

Resposta

∫ 0 1 4 1 + p 2 d p = π

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