Enunciado

Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F . d r . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário como visto acima.

F x , y , z = 2 y i + ( x z ) j + ( x + y ) k

C é a curva resultante da interseção do plano z = y + 2 e o cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Pessoal, o Teorema de Stokes é dada por

∬ S r o t F . d S = ∫ C F . d r

onde C é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva.

Por definição,

r o t F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

onde F = P i + Q j + R k . Assim, temos:

r o t F = 1 - x i - j + z - 2 k

Se a superfície S é da forma z = g ( x , y ) e é orientada para cima, podemos usar a seguinte formula

∬ S F . d S = ∬ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R   d A

Sabemos que S faz parte do plano z = y + 2 e que D é a projeção da superfície no plano x y .

Passo 2

Aplicando o Teorema de Stokes, temos:

∬ S F . d S = ∬ D - 1 - x 0 - - 1 1 + z - 2 d A

∬ S F . d S = ∬ D [ z - 1 ] d A

Substituindo z = y + 2

∬ S F . d S = ∬ D y + 2 - 1 d A

∬ S F . d S = ∬ D y + 1   d A

D é a projeção de S no plano x y , certo? D vai ser a região dentro do círculo x 2 + y 2 = 1 no primeiro quadrante. Vamos passar aqui as variáveis para coordenadas cilíndricas, para facilitar nossa vida!

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Assim,

∬ S F . d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r sen ⁡ θ + 1 r d r d θ

∬ S F . d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 sen ⁡ θ + r   d r d θ

∬ S F . d S = ∫ 0 2 π r 3 3 sen ⁡ θ + r 2 2 0 1 d θ

Vamos lá que tá quase acabando!

∬ S F . d S = ∫ 0 2 π 1 3 sen ⁡ θ + 1 2 d θ

∬ S F . d S = - cos ⁡ θ 3 + θ 2 0 2 π

∬ S F . d S = - 1 3 + 2 π 2 - - 1 3 + 0 = π

Resposta

∫ C F . d r = π

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Calcule ∬ S r o t F →. n →d s , onde F x , y , z = 2 x y; 0;- x z e S é a superfície do elipsóide: x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1
Calcule ∫ C Fd r , Onde: F x , y , z = e - y - z e - x; e - z - x e - y; e - x - y e - z E C é a curva parametrizada: σ t = ln ⁡ 1 + t ln ⁡ 2; sin ⁡ π t 2; 1 - e t 1 - e Com 0 ≤ t ≤ 1 .
Calcule: ∫ C 2 x y z + sin ⁡ x d x + x 2 z + e y d y + x 2 y + 1 z d z Onde C é a curva parametrizada por: σ t = cos 3 ⁡ t; sin 2 ⁡ t ; t + 1 2 , 0 ≤ t ≤ π .
Calcule: ∫ C 4 x y - 3 x 2 z 2 d x + 2 x 2 d y - 2 x 3 zd z Onde C é a interseção da superfície: x 2 3 + y 2 4 + z 2 = 1 Com z ≥ 0 , com o plano y = 1 . Indique a orientação escolhida.
Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S → . F → x , y , z = 2 yc o s zi → + e xs e n zj → + x e y k → , S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 9 ,z ≥ 0 , orientado para cima.