Enunciado

Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F . d r . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário como visto acima.

F x , y , z = i + ( x + y z ) j + ( x y - z ) k

C é a fronteira de parte do plano 3 x + 2 y + z = 1 no primeiro octante.

Passo 1

Pessoal, o Teorema de Stokes é dada por

∬ S r o t F . d S = ∫ C F . d r

onde C é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva.

Por definição,

r o t F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

onde F = P i + Q j + R k . Assim, temos:

r o t F = x - y i + 0 - y j + 1 - 0 k = x - y i - y j + k

Se a superfície S é da forma z = g ( x , y ) e é orientada para cima, podemos usar a seguinte formula

∬ S F . d S = ∬ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R   d A

Sabemos que S faz parte do plano z = 1 - 3 x - 2 y e que D é a projeção da superfície no plano x y .

Passo 2

Aplicando o Teorema de Stokes, temos:

∬ S F . d S = ∬ D - x - y - 3 - - y - 2 + 1 d A

∬ S F . d S = ∬ D 3 x - 5 y + 1 d A

D é a projeção de S no plano x y , certo? Na forma do intercepto, podemos escrever o plano como:

x 1 3 + y 1 2 + z 1 = 1

Portanto, o intercepto em x é 1 3 e em y é 1 2 . A região D é a interior ao triângulo formado pelos vértices 0,0 , 1 3 , 0   e   0 , 1 2 . A equação ligando os pontos 1 3 , 0 e 0 , 1 2 é dada por:

x 1 3 + y 1 2 = 1

3 x + 2 y = 1

y = 1 - 3 x 2

Assim,

∬ S F . d S = ∫ 0 1 3 ∫ 0 ( 1 - 3 x ) / 2 3 x - 5 y + 1   d y d x

∬ S F . d S = ∫ 0 1 3 3 x y - 5 y 2 2 + y 0 1 - 3 x 2 d x

∬ S F . d S = ∫ 0 1 3 3 x 1 - 3 x 2 - 5 1 - 3 x 2 8 + 1 - 3 x 2 d x

Usando a propriedade ∫ a b f x d x = ∫ a b f a + b - x d x

∬ S F . d S = ∫ 0 1 / 3 3 x 1 - 3 ( x - 1 3 ) 2 - 5 1 - 3 ( x - 1 3 ) 2 8 + 1 - 3 x - 1 3 2

∬ S F . d S = ∫ 0 1 3 1 - 3 x 3 x 2 - 5 3 x 2 8 + 3 x 2 d x

∬ S F . d S = ∫ 0 1 3 3 x - 9 x 2 2 - 45 x 2 8 + 3 x 2 d x

∬ S F . d S = 1 8 ∫ 0 1 3 12 x - 36 x 2 - 45 x 2 + 12 x d x

Vamos lá que tá quase acabando!

∬ S F . d S = 1 8 ∫ 0 1 3 24 x - 81 x 2 d x

∬ S F . d S = 1 8 12 x 2 - 27 x 3 0 1 3

∬ S F . d S = 1 8 12 9 - 27 27

∬ S F . d S = 1 8 4 3 - 1 = 1 24

Resposta

∫ C F . d r = 1 24

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