Enunciado

Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

F → x , y , z = x + y 2 i → + y + z 2 j → + ( z + x 2 ) k → , C o triângulo com vértices 1 , 0,0 ; 0,1 , 0 e   ( 0,0 , 1 ) .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? A curva de fronteira é um triângulo com vértices 1 , 0,0 ; 0,1 , 0 e   ( 0,0 , 1 ) que está sob o plano formado por esses vértices. Para determinar a superfície z , precisamos equacionar esse plano.

Dá uma espiadinha no capítulo 12.5 para lembrar como é feita a equação de um plano com três pontos. Ok?

E equação desse plano, com vetor normal v → 1 , 1,1 e ponto ( 1,0 , 0 ) (aqui você pode escolher qualquer um dos três pontos para equacionar o plano) vai ser:

x + y + z = 1

Assim g x , y = 1 - x - y .

E o vetor normal a essa superfície vai ser n → = v → = 1 , 1,1 .

Passo 2

Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. Como é um plano em x y , os limites vão ser:

0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1 - x

E o elemento de área vai ser: d A = d y d x

Passo 3

Agora precisamos determinar o rotacional do campo. Sendo assim, o rotacional de F → é:

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x + y 2 y + z 2 z + x 2 = i   → ∂ ∂ y ( z + x 2 ) - ∂ ∂ z ( y + z 2 ) + j → ∂ ∂ z ( x + y 2 ) - ∂ ∂ x ( z + x 2 ) + k → ∂ ∂ x ( y + z 2 ) - ∂ ∂ y ( x + y 2 )

∇ × F → = - 2 z ,   - 2 x , - 2 y

O produto escalar entre ∇ × F → e n → fica:

∇ × F → ⋅ n → = - 2 z ,   - 2 x , - 2 y ⋅ 1,1 , 1 = - 2 z - 2 x - 2 y = - 2 1 - x - y - 2 x - 2 y = - 2

Passo 4

Agora é colocar tudo na integral:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ( - 2 ) d y d x = ∫ 0 1 - 2 y 0 1 - x d x = ∫ 0 1 - 2 ( 1 - x ) d x = - 2 x + 2 x 2 2 0 1

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = - 2 + 1 = - 1

Resposta

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = - 1

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Usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada ∮ C f → ⋅ d r → , sendo f → = e x 2 + 2 y , e y 2 + x , e x 2 e C a elipse x = cos ⁡ t ,y = 2s e nt ,z = 2 ,0 ≤ t ≤ 2 π .
Considere o escoamento bidimensional na região Ω = {(x, y) ∈ R 2 | − 3 v → x , y = 1 - x 2 9 j → .Desenhe tal campo de velocidade.O escoamento é irrotacional?
Calcule o rotacional. F → x , y , z =y z i → + x z j → + x y k →
Sejam u → , v → : Ω ⊂ R 3 → R 3 dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ ,u → ,v → e prove. (suponha u → = P i → + Q j → + R k →ev → = P 1 i →
Sejam u → , v → : Ω ⊂ R 3 → R 3 dois campos vetoriais e φ : Ω → R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre φ ,u → ,v → e prove. (suponha u → = P i → + Q j → + R k →ev → = P 1 i →