Enunciado

Use o Teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r l   F → ⋅ d S → .

F → x , y , z = 2 y   c o s z   i → + e x   s e n z   j → + x e y k → , S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 9 ,   z ≥ 0 , orientado para cima.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? A primeira coisa aqui a se fazer é determinar a fronteira. No plano x y temos um círculo de raio 3 :

x 2 + y 2 = 9

Vou preferir usar a forma do teorema que diz ∫ C F → ⋅ d r → .

Uma parametrização possível é:

x = 3 c o s t y = 3 s e n t z = 0                   0 ≤ t ≤ 2 π

E o vetor r → ( t ) :

r → t = 3 c o s t i → + 3 s e n t j → + 0 k →

E já vamos calcular a derivada:

d r → = r ' t d t = - 3 s e n t ,   3 c o s t ,   0 d t

Passo 2

Agora vamos encontrar o campo F → em função dessa nova parametrização:

F → x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) = 2 y   c o s z   i → + e x   s e n z   j → + x e y k →

F → t = 2.3 s e n t . c o s 0   i → + e 3 c o s t s e n 0   j → + 3 e 3 s e n t cos ⁡ t   k →

Daí sabendo que s e n   0 = 0 , cos ⁡ 0 = 1 temos:

F → t = 6 s e n t i → + 0 j → + 3 e 3 s e n t cos ⁡ t   k → ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 3

Show! Agora vamos calcular o integrando: o produto escalar de F → ( t ) com d r → (resgatando lá dos passos 1   e   2 ):

F → t ⋅ d r → = 6 s e n t ,   0 ,   3 e 3 s e n t cos ⁡ t ⋅ - 3 s e n t ,   3 c o s t ,   0 d t = - 18 s e n 2 t   d t

Passo 4

Beleza! Agora é só colocar na integral e calcular sobre os valores de 0 ≤ t ≤ 2 π :

∬ S c u r l   F → ⋅ d S → = ∫ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π - 18 s e n 2 t   d t

Olhando numa tabela de integrais temos:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S → = - 18 t 2 - 1 4 s e n 2 t 0 2 π = - 18 2 π 2 - 1 4 s e n 4 π + 18 0 2 - 1 4 s e n 0

Assim temos:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S → = - 18.2 π 2 = - 18 π

Resposta

∬ S c u r l   F → ⋅ d S → = - 18 π

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