Enunciado

Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S .

F → x , y , z =   - y i ^ + x j ^ - 2 k ^

S é o cone z 2 = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 4 , com orientação descendente.

Passo 1

Relembrar é viver. O Teorema de Stokes é definido como

∬ S ∇ × F → ⋅ d S → = ∫ C F → ⋅ d r →

Passo 2

Assim vamos separar o problema em duas partes. Primeiro Resolver pelo rotacional.

∇ × F → = d e t i ^ j ^ k ^ d d x d d y d d z - y x 2 = i ^ 0   + j ^ 0 + k ^ 1 - - 1

Então teremos que ∇ × F → = 2 k ^ . E a projeção D da superfície S no plano x y é x 2 + y 2 ≤ 16

Assim temos que

∬ S ∇ × F → ⋅ d S → = - ∬ D 2 d A =   - 2   A D =   - 2   π r 2 = - 32 π

Passo 3

Já para a segunda parte da nossa integral, iremos fazer o seguinte

∮ C F → ⋅ d r → = ∫ C F → r → t ⋅ r → ' t d t

Assim vamos adota a seguinte parametrização para r → t

r → t = 4 cos ⁡ t i ^ - 4   s e n   t   j ^ + 4   k ^ , 0 ≤ t ≤ 2 π

Então teremos que

r → ' t = - 4   s e n   t   i ^ - 4 cos ⁡ t   j ^ + 0 k ^

Assim temos que

F → r → t = 4   s e n   t   i ^ + 4 cos ⁡ t   j ^ - 2 k ^

e

F → r → t ⋅ r → ' t = - 16   s e n 2 t - 16 cos 2 ⁡ t = - 16

Assim

∫ 0 2 π - 16 d t =   - 32 π

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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