Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 12
- Use o Teorema de Stokes para calcular , onde
e é a curva resultante do paraboloide hiperbólico e o cilindro , orientado no sentido anti-horário vista de cima.
- Esboce o gráfico o plano e do cilindro com os domínios escolhidos, de modo que seja possível ver a curva e a superfície usada na letra (a);
- Encontre as equações paramétricas para e as use para esboçar o gráfico de .
e é a curva resultante do paraboloide hiperbólico e o cilindro , orientado no sentido anti-horário vista de cima.
Passo 1
Pessoal, o Teorema de Stokes é dada por
onde é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva.
Na letra (a), queremos o valor de , certo? Simbora calcular! Por definição,
onde . Assim, temos:
Se a superfície é da forma e é orientada para cima, podemos usar a seguinte formula
Sabemos que faz parte do plano e que é a projeção da superfície no plano .
Passo 2
Aplicando o Teorema de Stokes, temos:
é a projeção de no plano , certo? vai ser a região dentro do círculo no primeiro quadrante. Vamos passar aqui as variáveis para coordenadas cilíndricas, para facilitar nossa vida!
Assim,
Vamos lá que tá quase acabando!
Passo 3
Na letra (b) queremos o gráfico da interseção do plano e do cilindro, que resultam na curva . Assim,
Passo 4
Na letra (c) nos é pedido uma parametrização para a curva .
A representação paramétrica do cilindro é:
A equação do paraboloide hiperbólico é . Para os pontos no cilindro Portanto, a representação paramétrica da interseção entre o plano e o cilindro é:
Resposta
- ;
- .
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