Enunciado

  1. Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C F . d r , onde
  2. F x , y , z = x 2 y i + 1 3 x 3 j + x y k

    e C é a curva resultante do paraboloide hiperbólico z = y 2 - x 2 e o cilindro x 2 + y 2 = 1 , orientado no sentido anti-horário vista de cima.

  3. Esboce o gráfico o plano e do cilindro com os domínios escolhidos, de modo que seja possível ver a curva C e a superfície usada na letra (a);
  4. Encontre as equações paramétricas para C e as use para esboçar o gráfico de C .

Passo 1

Pessoal, o Teorema de Stokes é dada por

∬ S r o t F . d S = ∫ C F . d r

onde C é a curva fechada que forma a fronteira, simples, suave por partes e com orientação positiva.

Na letra (a), queremos o valor de ∫ C F . d r , certo? Simbora calcular! Por definição,

r o t F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

onde F = P i + Q j + R k . Assim, temos:

r o t F = x - 0 i + 0 - y j + x 2 - x 2 k = x i - y j

Se a superfície S é da forma z = g ( x , y ) e é orientada para cima, podemos usar a seguinte formula

∬ S F . d S = ∬ D - P ∂ g ∂ x - Q ∂ g ∂ y + R   d A

Sabemos que S faz parte do plano z = y 2 - x 2 e que D é a projeção da superfície no plano x y .

Passo 2

Aplicando o Teorema de Stokes, temos:

∬ S F . d S = ∬ D - x - 2 x - - y 2 y + 0 d A

∬ S F . d S = 2 ∬ D [ x 2 + y 2 ] d A

D é a projeção de S no plano x y , certo? D vai ser a região dentro do círculo x 2 + y 2 = 1 no primeiro quadrante. Vamos passar aqui as variáveis para coordenadas cilíndricas, para facilitar nossa vida!

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Assim,

∬ S F . d S = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 r d r d θ

∬ S F . d S = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3   d r d θ

∬ S F . d S = 2 ∫ 0 2 π r 4 4 0 1 d θ

Vamos lá que tá quase acabando!

∬ S F . d S = 2 ∫ 0 2 π 1 4 d θ

∬ S F . d S = 2 θ 4 0 2 π

∬ S F . d S = 2 × 2 π 4 = π

Passo 3

Na letra (b) queremos o gráfico da interseção do plano e do cilindro, que resultam na curva C . Assim,

Passo 4

Na letra (c) nos é pedido uma parametrização para a curva C .

A representação paramétrica do cilindro é:

sen ⁡ θ , cos ⁡ θ , z ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

A equação do paraboloide hiperbólico é z = y 2 - x 2 . Para os pontos no cilindro z = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = cos ⁡ 2 θ . Portanto, a representação paramétrica da interseção entre o plano e o cilindro é:

( sin ⁡ θ , cos ⁡ θ , cos ⁡ 2 θ )

Resposta

  1. ∫ C F . d r = π ;
  2. C : ( sin ⁡ θ , cos ⁡ θ , cos ⁡ 2 θ ) .
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