Enunciado

Use o Teorema da Divergência para calcular a integral superfície ∬ S F . d S , ou seja, calcule o fluxo de F através de S .

F x , y , z = x 2 y z i + x y 2 z j + x y z 2 k

S é a superfície da caixa limitada pelos planos x = 0 , x = a , y = 0 , y = b , z = 0 e z = c , onde a , b   e   c são números positivos.

Passo 1

Galera, o Teorema da Divergência ou Teorema de Gauss é o seguinte: se temos um região sólida E e seja S uma superfície que faz fronteira com E , orientada positivamente (para fora) e F é um mcapo vetorial cujas funções componentes tenham derivadas parciais contínuas em um região aberta que contenha E ,

∬ S F . d S = ∭ E d i v F   d V

Seja F = P i + Q j + R k . Então,

d i v F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Temos que nosso campo vetorial é dado por F = x 2 y z i + x y 2 z j + x y z 2 k . Vamos calcular o divergente dele!

d i v F = 2 x y z + 2 x y z + 2 x y z = 6 x y z

Passo 2

Vamos aplicar agora o Teorema da Divergência!

∬ S F . d S = ∫ 0 a ∫ 0 b ∫ 0 c 6 x y z d z d y d x

∬ S F . d S = 6 ∫ 0 a x d x ∫ 0 b y d y ∫ 0 c z d z

∬ S F . d S = 6 1 2 x 2 0 a 1 2 y 2 0 b 1 2 z 2 0 c

∬ S F . d S = 6 a 2 2 b 2 2 c 2 2 = 3 a 2 b 2 c 2

Resposta

Logo, ∬ S F . d S = 3 a 2 b 2 c 2

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